1. Через точку K, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые a и b.

Беру вариант 1 (левый столбец).

1. Параллельные плоскости и стороны угла

Дано:
\(\alpha\parallel\beta\); плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекают стороны угла с вершиной \(K\) в точках \(A_1,B_1\) и \(A_2,B_2\) соответственно;
\[ A_1B_1=4,\qquad A_2B_2=9,\qquad KB_1=8. \]

Найти: \(B_1B_2\).

Рисунок:

          K
         / \
        /   \
       A1---B1   α
      /       \
     A2-------B2  β

Решение.
Плоскость, в которой лежит угол, пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) по прямым \(A_1B_1\) и \(A_2B_2\). Поэтому \[ A_1B_1\parallel A_2B_2. \] Значит, треугольники \(KA_1B_1\) и \(KA_2B_2\) подобны. Отсюда \[ \frac{KB_2}{KB_1}=\frac{A_2B_2}{A_1B_1}=\frac94. \] Тогда \[ KB_2=8\cdot\frac94=18. \] Следовательно, \[ B_1B_2=KB_2-KB_1=18-8=10. \]

Ответ: \(B_1B_2=10\) см.

2. Доказать, что \(HPFE\) — параллелограмм

Дано:
\(ABCD\) и \(ADFE\) — параллелограммы; прямая \(m\parallel BC\);
\[ H=m\cap(ABE),\qquad P=m\cap(DCF). \]

Доказать: \(HPFE\) — параллелограмм.

Рисунок (схема):

        B ----- C
       /       /
  m -- H       P -- m
      A ----- D
       \       \
        E ----- F

Доказательство.
В параллелограмме \(ABCD\) \[ AB\parallel CD. \] В параллелограмме \(ADFE\) \[ AE\parallel DF. \] Две пересекающиеся прямые \(AB\) и \(AE\) плоскости \(ABE\) параллельны двум пересекающимся прямым \(CD\) и \(DF\) плоскости \(DCF\). Поэтому \[ (ABE)\parallel(DCF). \]

Кроме того, \[ BC\parallel AD,\qquad AD\parallel EF, \] значит, \[ BC\parallel EF. \] По условию \(m\parallel BC\), поэтому \[ m\parallel EF. \]

Рассмотрим перенос на вектор \(\overrightarrow{AD}\). Он переводит \[ A\to D,\qquad B\to C,\qquad E\to F, \] а значит, переводит плоскость \(ABE\) в плоскость \(DCF\). Прямая \(m\) параллельна \(AD\), поэтому при этом переносе она переходит в себя. Точка \(H\) переходит в точку, которая лежит одновременно на \(m\) и в плоскости \(DCF\), то есть в точку \(P\). Поэтому \[ \overrightarrow{HP}=\overrightarrow{AD}. \] Но также \[ \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}. \] Следовательно, \[ HP\parallel EF,\qquad HP=EF. \] Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то он является параллелограммом. Значит, \(HPFE\) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

3. Сечение тетраэдра

Дано:
Тетраэдр \(DABC\); \[ DB\perp AB,\qquad DB\perp BC, \] \[ AB=BC=8,\qquad AC=12,\qquad DB=6. \] Сечение проведено через середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(BD\).

Найти: площадь сечения.

Рисунок (схема):

            D
           /|\
          / | \
         A  M  C
          \ N-L /
            \|/
             B

Здесь \(N\) — середина \(AB\), \(L\) — середина \(BC\), \(M\) — середина \(BD\). Сечение — треугольник \(MNL\).

Решение.
Так как \(DB\perp AB\), треугольник \(DAB\) прямоугольный: \[ AD=\sqrt{AB^2+DB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10. \] Аналогично \[ CD=\sqrt{BC^2+DB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10. \]

В треугольнике \(ABD\) отрезок \(MN\) соединяет середины сторон \(AB\) и \(BD\), значит, \[ MN=\frac{AD}{2}=5. \] В треугольнике \(BCD\) отрезок \(ML\) соединяет середины \(BD\) и \(BC\), поэтому \[ ML=\frac{CD}{2}=5. \] В треугольнике \(ABC\) отрезок \(NL\) соединяет середины \(AB\) и \(BC\), значит, \[ NL=\frac{AC}{2}=6. \]

Итак, сечение — равнобедренный треугольник со сторонами \[ 5,\quad 5,\quad 6. \] Его высота к основанию \(6\): \[ h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4. \] Площадь: \[ S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot 6\cdot 4=12. \]

Ответ: \(S_{\text{сеч}}=12\ \text{см}^2\).

Число \(3\) — это половина основания треугольника сечения.

В задаче 3 сечение — треугольник \(MNL\), у которого: \[ MN=ML=5,\qquad NL=6. \] Он равнобедренный, поэтому высота, проведённая из вершины \(M\) к основанию \(NL\), делит основание пополам: \[ NH=HL=\frac{NL}{2}=\frac{6}{2}=3. \]

Дальше по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \(MNH\): \[ MH^2+NH^2=MN^2, \] \[ h^2+3^2=5^2, \] \[ h^2=25-9=16, \] \[ h=4. \]

Значит, \(3\) появилось именно из-за деления основания \(6\) пополам.

Да, можно сначала найти площадь треугольника \(ADC\) — так решение короче.

1. Найдём \(AD\) и \(CD\).

Так как \(DB\perp AB\) и \(DB\perp BC\), треугольники \(DAB\) и \(DCB\) прямоугольные. Поэтому \[ AD=\sqrt{AB^2+DB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10, \] \[ CD=\sqrt{BC^2+DB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10. \] Значит, треугольник \(ADC\) равнобедренный: \(AD=CD=10\), \(AC=12\).

2. Найдём площадь \(ADC\).

Высота из \(D\) к \(AC\) делит \(AC\) пополам: \[ \frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6. \] Тогда \[ h=\sqrt{AD^2-6^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8. \] Площадь: \[ S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot h =\frac12\cdot 12\cdot 8=48. \]

3. Перейдём к сечению.

Точки \(N,L,M\) — середины рёбер \(AB,BC,BD\). Значит, гомотетия с центром \(B\) и коэффициентом \(\frac12\) переводит \[ A\to N,\qquad C\to L,\qquad D\to M. \] Поэтому треугольник \(NLM\) подобен треугольнику \(ADC\) с коэффициентом \(\frac12\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: \[ \frac{S_{NLM}}{S_{ADC}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \] Следовательно, \[ S_{NLM}=\frac14\cdot 48=12. \]

Ответ: \(S_{ADC}=48\ \text{см}^2\), а площадь сечения \(S_{\text{сеч}}=12\ \text{см}^2\).

Потому что сечение подобно треугольнику \(ADC\), но все его стороны в 2 раза меньше. А при уменьшении всех линейных размеров в 2 раза площадь уменьшается в \(2^2=4\) раза.

1. Почему сечение подобно \(ADC\)

Точки \(N,L,M\) — середины рёбер \(AB,BC,BD\), выходящих из вершины \(B\). Рассмотрим гомотетию с центром \(B\) и коэффициентом \(\frac12\):

\[ A\to N,\qquad C\to L,\qquad D\to M. \]

Значит, треугольник \(ADC\) переходит в треугольник \(NLM\). Поэтому они подобны, и коэффициент подобия

\[ k=\frac12. \]

Это же видно по средним линиям:

\[ NL=\frac{AC}{2},\qquad NM=\frac{AD}{2},\qquad LM=\frac{CD}{2}. \]

То есть каждая сторона сечения ровно в 2 раза меньше соответствующей стороны \(ADC\).

2. Почему площадь уменьшается в 4 раза

Площадь треугольника можно записать как

\[ S=\frac12\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}. \]

Если треугольник уменьшили в 2 раза по всем направлениям, то и основание, и высота уменьшились в 2 раза:

\[ S_{\text{сеч}} =\frac12\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{h}{2} =\frac14\cdot \frac12 ah =\frac14 S_{ADC}. \]

Для подобных фигур это общее правило:

\[ \frac{S_{\text{сеч}}}{S_{ADC}}=k^2 =\left(\frac12\right)^2=\frac14. \]

3. Проверка на числах

У треугольника \(ADC\):

\[ AD=CD=10,\qquad AC=12. \]

Его высота к основанию \(AC\):

\[ h=\sqrt{10^2-6^2}=8, \]

\[ S_{ADC}=\frac12\cdot 12\cdot 8=48. \]

У сечения \(NLM\):

\[ NM=LM=5,\qquad NL=6. \]

Его высота:

\[ h_1=\sqrt{5^2-3^2}=4, \]

\[ S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot 6\cdot 4=12. \]

Действительно,

\[ 12=\frac{48}{4}. \]

Итог: стороны сечения в 2 раза меньше сторон \(ADC\), поэтому площадь сечения в \(2^2=4\) раза меньше площади \(ADC\).