Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Как решать. Для уравнения вида \(ax^2+bx+c=0\) находим дискриминант: \[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \] Так как \(D>0\), корней два: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}. \] Отсюда: \[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3. \]
Проверка. \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Оба корня подходят.
Полезный приём: по теореме Виета \(x_1+x_2=5\), \(x_1x_2=6\). Поэтому корни легко подобрать: это \(2\) и \(3\). Или разложить: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \]
Обсуждение
2 сообщенияСделай не через дискриминант а через алгоритм метода группировки
Ответ тот же: \(x_1=2,\ x_2=3\).
Решим разложением на множители способом группировки, без дискриминанта.
Исходное уравнение: \[ x^2-5x+6=0 \]
Нужно представить \(-5x\) в виде суммы двух слагаемых. Подбираем два числа, которые в сумме дают \(-5\), а в произведении \(6\). Это \(-2\) и \(-3\), так как: \[ -2+(-3)=-5,\qquad (-2)\cdot(-3)=6. \]
Поэтому: \[ x^2-2x-3x+6=0 \]
Группируем: \[ (x^2-2x)+(-3x+6)=0 \]
Выносим общий множитель из каждой группы: \[ x(x-2)-3(x-2)=0 \]
Теперь выносим общую скобку \((x-2)\): \[ (x-2)(x-3)=0 \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0 \]
Отсюда: \[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]
Проверка: при \(x=2\) получаем \(4-10+6=0\), при \(x=3\) получаем \(9-15+6=0\). Оба корня верны.
