решить 51, 53, 55

Question

решить 51, 53, 55

Расшифровка фото нейросетью:
51 Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.
53 Три отрезка $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ и $C_{1}C_{2}$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ параллельны.
55 Докажите, что если прямая a пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.

Answer

Коротко: в № 51 плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны; в № 53 — тоже; в № 55 прямая $a$ пересекает каждую плоскость, параллельную $\alpha$.

51

Доказательство. Предположим противное: плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой $l$.

Прямые $m$ и $l$ лежат в плоскости $\alpha$. Если бы $m$ пересекала $l$, то точка их пересечения принадлежала бы и плоскости $\beta$, то есть $m$ пересекала бы $\beta$, что невозможно по условию. Значит,
$$
m\parallel l.
$$
Аналогично
$$
n\parallel l.
$$
Следовательно, $m\parallel n$. Но по условию $m$ и $n$ пересекаются — две различные пересекающиеся прямые не могут быть параллельны. Получили противоречие. Значит,
$$
\alpha\parallel\beta.
$$

53

Пусть $O$ — общая середина всех трёх отрезков.

Рассмотрим четырёхугольник $A_1B_1A_2B_2$. Его диагонали $A_1A_2$ и $B_1B_2$ точкой $O$ делятся пополам, поэтому это параллелограмм. Отсюда
$$
A_1B_1\parallel A_2B_2.
$$
Аналогично из четырёхугольника $A_1C_1A_2C_2$ получаем
$$
A_1C_1\parallel A_2C_2.
$$

В плоскости $A_1B_1C_1$ есть две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$. В плоскости $A_2B_2C_2$ им соответствуют две пересекающиеся прямые $A_2B_2$ и $A_2C_2$, соответственно параллельные первым.

Плоскости различны: если бы они совпадали, все три данных отрезка лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию. По признаку параллельности плоскостей
$$
(A_1B_1C_1)\parallel(A_2B_2C_2).
$$

55

Пусть $\beta$ — произвольная плоскость, параллельная $\alpha$. Возьмём точку $B\in\beta$ и проведём через неё прямую $b\parallel a$.

Так как $a$ пересекает плоскость $\alpha$, то и параллельная ей прямая $b$ пересекает $\alpha$. Но $\beta\parallel\alpha$, поэтому $b$ не может лежать в $\beta$: иначе у $b$ не было бы общих точек с $\alpha$.

При этом $B\in b$ и $B\in\beta$, значит, $b$ имеет с $\beta$ общую точку. Следовательно, $b$ пересекает $\beta$.

Теперь $a\parallel b$, а $b$ пересекает $\beta$. Значит, и прямая $a$ пересекает $\beta$. Так как $\beta$ выбиралась произвольно, $a$ пересекает любую плоскость, параллельную $\alpha$.

Что запомнить: в № 51 работает доказательство от противного, в № 53 — признак параллельности плоскостей через две пересекающиеся прямые, в № 55 — свойство параллельных прямых одинаково пересекать параллельные плоскости.