707 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Краткий ответ: диаметр описанной окружности равен 16 см.

Главный принцип — расширенная теорема синусов: для любого треугольника \[ 2R=\frac{a}{\sin A}, \] то есть диаметр \(D=2R\) равен стороне, делённой на синус противолежащего ей угла.

Шаги решения

1. Треугольник равнобедренный, угол против основания (при вершине) равен \(120^\circ\). Углы при основании равны: \[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \]

2. Возьмём боковую сторону \(BC=8\) см. Против неё лежит угол \(A=30^\circ\).

3. Подставляем в формулу: \[ D=2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{8}{\sin 30^\circ}=\frac{8}{0{,}5}=16\ \text{см}. \]

Проверка (через основание) \[ AC=2\cdot 8\cdot\sin 60^\circ=8\sqrt{3}, \] тогда \[ D=\frac{AC}{\sin 120^\circ}=\frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=16\ \text{см}. \] Результаты совпали — ответ верный.

Что запомнить: в подобных задачах не нужно искать радиус отдельно — сразу считайте \(D=\dfrac{a}{\sin A}\), выбирая удобную сторону (часто это боковая сторона и угол при основании). То, что треугольник тупоугольный и центр окружности лежит вне его, формуле не мешает.