решить подробно разборчево

Question

Расшифровка фото нейросетью:
II вариант
а) $$\int_{2}^{3}(x^2+4x)\,dx$$
б) $$\int_{0}^{1}(2x^3-x-1)\,dx$$
в) $$\int_{1}^{4}\left(2x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$$
г) $$\int_{-1}^{1}\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{4}{3}x^3+5\right)dx$$
д) $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x\,dx$$

Answer

По фото нужно вычислить пять определённых интегралов из II варианта.

Краткие ответы:
$$
\text{а) } \frac{49}{3}; \qquad
\text{б) } -1; \qquad
\text{в) } 21; \qquad
\text{г) } \frac{21}{2}=10{,}5; \qquad
\text{д) } 1.
$$

Общая идея: находим первообразную $F(x)$, а затем применяем формулу Ньютона — Лейбница:
$$
\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a), \qquad F'(x)=f(x).
$$

а) $\displaystyle \int_2^3 (x^2+4x)\,dx$

Первообразная:
$$
\int (x^2+4x)\,dx=\frac{x^3}{3}+2x^2.
$$

Подставляем пределы:
$$
\left[\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_2^3
=
\left(\frac{27}{3}+18\right)
-
\left(\frac{8}{3}+8\right)
=
27-\frac{32}{3}
=
\frac{49}{3}.
$$

$$
\boxed{\frac{49}{3}=16\frac13}
$$

б) $\displaystyle \int_0^1 (2x^3-x-1)\,dx$

Первообразная:
$$
\int (2x^3-x-1)\,dx
=
\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}-x.
$$

Подставляем пределы:
$$
\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^2}{2}-x\right]_0^1
=
\left(\frac12-\frac12-1\right)-0
=
-1.
$$

$$
\boxed{-1}
$$

в) $\displaystyle \int_1^4 \left(2x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx$

Так как
$$
\int \frac{3}{\sqrt{x}}\,dx=3\cdot 2\sqrt{x}=6\sqrt{x},
$$
первообразная:
$$
x^2+6\sqrt{x}.
$$

Тогда:
$$
\left[x^2+6\sqrt{x}\right]_1^4
=
(16+6\cdot2)-(1+6\cdot1)
=
28-7
=
21.
$$

$$
\boxed{21}
$$

г) $\displaystyle \int_{-1}^1 \left(\frac34x^2-\frac43x^3+5\right)dx$

Первообразная:
$$
F(x)=\frac{x^3}{4}-\frac{x^4}{3}+5x.
$$

Вычисляем:
$$
F(1)=\frac14-\frac13+5=\frac{59}{12},
$$
$$
F(-1)=-\frac14-\frac13-5=-\frac{67}{12}.
$$

Тогда:
$$
F(1)-F(-1)
=
\frac{59}{12}-\left(-\frac{67}{12}\right)
=
\frac{126}{12}
=
\frac{21}{2}.
$$

$$
\boxed{\frac{21}{2}=10{,}5}
$$

Можно заметить: на симметричном отрезке $[-1;1]$ интеграл от нечётной функции $-\frac43x^3$ равен нулю.

д) $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx$

Первообразная:
$$
\int \sin 2x\,dx=-\frac12\cos 2x.
$$

Подставляем пределы:
$$
\left[-\frac12\cos 2x\right]_0^{\pi/2}
=
-\frac12\cos\pi
-
\left(-\frac12\cos 0\right).
$$

Так как $\cos\pi=-1$, $\cos 0=1$:
$$
-\frac12\cdot(-1)+\frac12
=
\frac12+\frac12
=
1.
$$

$$
\boxed{1}
$$

Итоговые ответы:
$$
\boxed{\text{а) }\frac{49}{3};\quad
\text{б) }-1;\quad
\text{в) }21;\quad
\text{г) }\frac{21}{2};\quad
\text{д) }1.}
$$

решить подробно разборчево

а) \(\displaystyle \int_2^3 (x^2+4x)\,dx\)

б) \(\displaystyle \int_0^1 (2x^3-x-1)\,dx\)

в) \(\displaystyle \int_1^4 \left(2x+\frac{3}{\sqrt{x}}\right)dx\)

г) \(\displaystyle \int_{-1}^1 \left(\frac34x^2-\frac43x^3+5\right)dx\)

д) \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx\)

Обсуждение