решить 51, 53, 55

Question

решить 51, 53, 55

Расшифровка фото нейросетью:
51 Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, если две пересекающиеся прямые $m$ и $n$ плоскости $\alpha$ параллельны плоскости $\beta$.

53 Три отрезка $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ и $C_{1}C_{2}$, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $A_{2}B_{2}C_{2}$ параллельны.

55 Докажите, что если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости $\alpha$.

Решение
Рассмотрим произвольную плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$. Через какую-нибудь точку $B$ плоскости $\beta$ проведём прямую $b$, параллельную прямой $a$.
Так как прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, то прямая $b$ также пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая $b$ пересекает плоскость $\beta$ (а не лежит в ней). Поэтому прямая $a$ также пересекает плоскость $\beta$.

Answer

Кратко:
№51 — если бы плоскости пересекались, обе прямые $m$ и $n$ стали бы параллельны линии пересечения, но тогда они не могли бы пересекаться.
№53 — из условия получаются две пары параллельных прямых, значит, плоскости параллельны по признаку.
№55 — прямая с «наклонным» к плоскости направлением протыкает любую параллельную плоскость.

51

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают: иначе прямые $m$ и $n$ лежали бы в $\beta$, а не были бы ей параллельны.

Предположим, что $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой $l$.

Так как $m\parallel\beta$, прямая $m$ не имеет общих точек с $\beta$. Но $l\subset\beta$, значит, $m$ не пересекает $l$. Прямые $m$ и $l$ лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому

$$
m\parallel l.
$$

Аналогично

$$
n\parallel l.
$$

Но если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, то есть $m\parallel n$. Это противоречит условию: $m$ и $n$ пересекаются.

Значит, предположение неверно, и

$$
\alpha\parallel\beta.
$$

53

Пусть $O$ — общая середина всех трёх отрезков.

Рассмотрим четырёхугольник $A_1B_1A_2B_2$. Его диагонали $A_1A_2$ и $B_1B_2$ точкой $O$ делятся пополам. По признаку параллелограмма это параллелограмм, поэтому

$$
A_1B_1\parallel A_2B_2.
$$

Аналогично из четырёхугольника $A_1C_1A_2C_2$:

$$
A_1C_1\parallel A_2C_2.
$$

В плоскости $A_1B_1C_1$ есть две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$. Они соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $A_2B_2$ и $A_2C_2$ плоскости $A_2B_2C_2$.

По признаку параллельности плоскостей:

$$
A_1B_1C_1\parallel A_2B_2C_2.
$$

Плоскости не совпадают, иначе все шесть точек лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию.

55

Пусть $\beta\parallel\alpha$, и пусть $B\in\beta$. Проведём через $B$ прямую $b\parallel a$.

1. Прямая $a$ пересекает $\alpha$, значит, её направление не параллельно $\alpha$. Поэтому и $b\parallel a$ пересекает $\alpha$ в некоторой точке $C$.

2. Так как $\alpha\cap\beta=\varnothing$, точка $C\notin\beta$. Но $B\in\beta$, следовательно, $b$ не лежит в $\beta$, а пересекает $\beta$ в точке $B$.

3. Если бы прямая $a$ не пересекала $\beta$, то она была бы параллельна $\beta$. Тогда прямая $b$, проходящая через $B\in\beta$ параллельно $a$, лежала бы в $\beta$. Это противоречит пункту 2.

Значит, $a$ пересекает $\beta$. Так как $a$ не лежит в $\beta$, точка пересечения единственная.

Проверка: в №51 противоречие возникает именно из-за того, что две пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой. В №53 можно также заметить центральную симметрию с центром $O$: она переводит плоскость $A_1B_1C_1$ в параллельную плоскость $A_2B_2C_2$.