707 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника
707
Сверь числа и знаки с фото.
707 □ Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Краткий ответ: \(16\) см.
Пусть в равнобедренном треугольнике \(ABC\) основание — \(AC\), а боковые стороны \(AB=BC=8\) см. Угол, противолежащий основанию, — это угол \(B\):
\[ \angle B=120^\circ. \]
Тогда углы при основании равны:
\[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \]
Для любого треугольника диаметр описанной окружности можно найти по формуле
\[ D=2R=\frac{a}{\sin \alpha}, \]
где \(a\) — сторона, а \(\alpha\) — противолежащий ей угол.
Берём боковую сторону \(BC=8\) см. Против неё лежит угол \(A=30^\circ\):
\[ D=\frac{8}{\sin 30^\circ} =\frac{8}{\frac12}=16\text{ см}. \]
Проверка. Основание по теореме косинусов:
\[ AC^2=8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cos120^\circ=192, \]
\[ AC=8\sqrt3. \]
Против \(AC\) лежит угол \(120^\circ\), поэтому
\[ D=\frac{AC}{\sin120^\circ} =\frac{8\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=16. \]
Ответ сходится.
Обсуждение
2 сообщенияЗадача 707.
Ответ: 16 см.
Пусть в равнобедренном треугольнике \(ABC\) боковые стороны \(AB=BC=8\) см, а угол против основания \(AC\) равен \(\angle B=120^\circ\).
Углы при основании: \[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ. \]
Найдём основание \(AC\) по теореме косинусов: \[ AC^2=8^2+8^2-2\cdot 8\cdot 8\cdot \cos 120^\circ. \] Так как \(\cos 120^\circ=-\frac12\): \[ AC^2=64+64+64=192, \] \[ AC=8\sqrt3\ \text{см}. \]
Диаметр описанной окружности находим по теореме синусов: \[ D=\frac{AC}{\sin B} =\frac{8\sqrt3}{\sin 120^\circ} =\frac{8\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} =16\ \text{см}. \]
Диаметр описанной около треугольника окружности равен \(\mathbf{16}\) см.
