1. Найдите значение выражения: а) 5⁻⁴ · 5²; б) 12⁻³ : 12⁻⁴; в) (3⁻¹)⁻³.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Найдите значение выражения: а) \(5^{-4}\cdot 5^{2}\); б) \(12^{-3}:12^{-4}\); в) \((3^{-1})^{-3}\).
- Упростите выражение: а) \((a^{-5})^{4}\cdot a^{22}\); б) \(0,4x^{6}y^{-8}\cdot 50x^{-5}y^{9}\); в) \(\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2}\cdot 10a^{7}b^{3}\).
- Вычислите: \(\frac{2^{-6}\cdot 4^{-3}}{8^{-7}}\). №4. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
- 28 000;
- 0,00007;
- \(39\cdot 10^{7}\); [обрезано]
Краткие ответы:
- а) \(0{,}04\); б) \(12\); в) \(27\).
- а) \(a^{2}\); б) \(20xy\); в) \(\frac{40a^{15}}{9b^{3}}\).
- \(512\).
№4 — на фото видны пункты 1), 4), 7):
- \(2{,}8\cdot10^{4}\), порядок \(4\);
- \(7\cdot10^{-5}\), порядок \(-5\);
- \(3{,}9\cdot10^{8}\), порядок \(8\).
Как решать
Отрицательная степень: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются:
\[
a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}.
\]
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[
(a^m)^n=a^{mn}.
\]
Считаем \(a\ne0\), \(b\ne0\).
1.
а) \(5^{-4}\cdot5^{2}=5^{-4+2}=5^{-2}=\frac{1}{25}=0{,}04\).
б) \(12^{-3}:12^{-4}=12^{-3-(-4)}=12^{1}=12\).
в) \((3^{-1})^{-3}=3^{(-1)\cdot(-3)}=3^{3}=27\).
2.
а) \((a^{-5})^{4}\cdot a^{22}=a^{-20}\cdot a^{22}=a^{2}\).
б) \(0{,}4\cdot50=20\), \(x^{6-5}=x\), \(y^{-8+9}=y\), поэтому:
\[
0{,}4x^{6}y^{-8}\cdot50x^{-5}y^{9}=20xy.
\]
в) Сначала возводим дробь в степень:
\[
\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2}
=
\left(\frac{2b^{-3}}{3a^{-4}}\right)^{2}
=
\frac{4b^{-6}}{9a^{-8}}
=
\frac{4a^{8}}{9b^{6}}.
\]
Теперь умножаем на \(10a^{7}b^{3}\):
\[
\frac{4a^{8}}{9b^{6}}\cdot10a^{7}b^{3}
=
\frac{40a^{15}}{9b^{3}}.
\]
3. Приводим всё к степени двойки: \[ 4^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{-6},\qquad 8^{-7}=(2^{3})^{-7}=2^{-21}. \] Тогда: \[ \frac{2^{-6}\cdot2^{-6}}{2^{-21}} = 2^{-12-(-21)} = 2^{9} = 512. \]
№4. Стандартный вид числа: \[ a\cdot10^{n},\qquad 1\le |a|<10, \] где \(n\) — порядок числа.
- \(28\,000=2{,}8\cdot10^{4}\), порядок \(4\).
- \(0{,}00007=7\cdot10^{-5}\), порядок \(-5\).
- \(39\cdot10^{7}=3{,}9\cdot10^{8}\), порядок \(8\).
Проверка: \(2{,}8\cdot10^{4}=28\,000\), \(7\cdot10^{-5}=0{,}00007\), \(3{,}9\cdot10^{8}=39\cdot10^{7}\).
Остальные пункты №4 не попали в кадр.
Обсуждение
4 сообщенияТеперь в кадре видны все пункты №4 — дополняю решение недостающими:
- \(12=1{,}2\cdot10^{1}\), порядок \(1\);
- \(0{,}0034=3{,}4\cdot10^{-3}\), порядок \(-3\);
- \(0{,}21=2{,}1\cdot10^{-1}\), порядок \(-1\);
- \(320\cdot10^{3}=3{,}2\cdot10^{2}\cdot10^{3}=3{,}2\cdot10^{5}\), порядок \(5\);
- \(45\cdot10^{-4}=4{,}5\cdot10^{1}\cdot10^{-4}=4{,}5\cdot10^{-3}\), порядок \(-3\).
Принцип для пунктов 6 и 8: сначала приводим число перед степенью к виду \(1\le a<10\), а лишние множители десять «уводим» в показатель степени: \[ 320=3{,}2\cdot10^{2},\qquad 45=4{,}5\cdot10^{1}. \] При умножении степеней десятки показатели складываются.
Проверка:
- \(1{,}2\cdot10^{1}=12\);
- \(3{,}4\cdot10^{-3}=0{,}0034\);
- \(2{,}1\cdot10^{-1}=0{,}21\);
- \(3{,}2\cdot10^{5}=320\,000=320\cdot10^{3}\);
- \(4{,}5\cdot10^{-3}=0{,}0045=45\cdot10^{-4}\).
Итоговые ответы по всем пунктам №4: 1) \(2{,}8\cdot10^{4}\), порядок 4; 2) \(1{,}2\cdot10^{1}\), порядок 1; 3) \(3{,}4\cdot10^{-3}\), порядок −3; 4) \(7\cdot10^{-5}\), порядок −5; 5) \(2{,}1\cdot10^{-1}\), порядок −1; 6) \(3{,}2\cdot10^{5}\), порядок 5; 7) \(3{,}9\cdot10^{8}\), порядок 8; 8) \(4{,}5\cdot10^{-3}\), порядок −3.
Номер 3
Ответ для №3: \(512\).
Решение подробно — приводим всё к одному основанию \(2\), так как \(4=2^{2}\) и \(8=2^{3}\):
\[ \frac{4^{-3}\cdot4^{-3}}{8^{-7}} \]
Шаг 1. Заменяем основания. \[ 4^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2\cdot(-3)}=2^{-6}, \qquad 8^{-7}=(2^{3})^{-7}=2^{3\cdot(-7)}=2^{-21}. \]
Шаг 2. Считаем числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \[ 2^{-6}\cdot2^{-6}=2^{-6+(-6)}=2^{-12}. \]
Шаг 3. Делим. При делении показатели вычитаются: \[ \frac{2^{-12}}{2^{-21}}=2^{-12-(-21)}=2^{-12+21}=2^{9}. \]
Шаг 4. Считаем значение. \[ 2^{9}=512. \]
Проверка через обыкновенные дроби: \[ 4^{-3}=\frac{1}{64},\qquad 8^{-7}=\frac{1}{2\,097\,152}. \] Тогда \[ \frac{\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{64}}{\frac{1}{2\,097\,152}} =\frac{1}{4096}\cdot2\,097\,152=512. \] Совпало.
Главное, за чем следить: двойной минус в показателе (\(-12-(-21)\)) даёт плюс, а сам ответ остаётся положительным, потому что любая степень двойки положительна.
