2. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Периметр треугольника ABC равен 22 см. Найдите периметр треугольника MBN.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Периметр треугольника \(ABC\) равен 22 см. Найдите периметр треугольника \(MBN\).
[Рисунок: четырёхугольник \(ABCD\), точки \(K\), \(N\), \(M\), \(L\) отмечены на сторонах \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(AD\) соответственно.] Точки \(K, L, M, N\) — середины сторон четырехугольника \(ABCD\). Докажите, что \(KN \parallel LM\).
Вариант Б1 1. [Рисунок: треугольник \(ABC\), \(K\) на стороне \(AB\), \(M\) на стороне \(BC\); проведён отрезок \(KM\), отмечены углы \(1\) при \(M\) и \(2\) при \(C\).] Дано: \(AK = KB\); \(\angle 1 = \angle 2\). Доказать: \(BM = MC\).
Ответы: № 2 — \(11\) см; в № 3 нужно доказать \(KN\parallel LM\); в варианте Б1 № 1 — \(BM=MC\). На фото три задания, поэтому ниже разобрал все.
№ 2
Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), то
\[ BM=\frac{AB}{2},\qquad BN=\frac{BC}{2}. \]
Отрезок \(MN\) соединяет середины двух сторон треугольника \(ABC\), значит, это средняя линия:
\[ MN=\frac{AC}{2}. \]
Тогда
\[ P_{MBN}=BM+BN+MN =\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{22}{2}=11\text{ см}. \]
Ответ: \(11\) см.
№ 3
В треугольнике \(ABC\) точки \(K\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), поэтому \(KN\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Значит,
\[ KN\parallel AC. \]
В треугольнике \(ADC\) точки \(L\) и \(M\) — середины сторон \(AD\) и \(CD\), поэтому \(LM\) — его средняя линия:
\[ LM\parallel AC. \]
Оба отрезка \(KN\) и \(LM\) параллельны одной и той же прямой \(AC\), следовательно,
\[ KN\parallel LM. \]
Доказано.
Вариант Б1, № 1
По рисунку:
\[ \angle 1=\angle BMK,\qquad \angle 2=\angle BCA. \]
У треугольников \(BMK\) и \(BCA\):
- угол \(B\) общий;
- \(\angle BMK=\angle BCA\) по условию.
Значит, треугольники подобны:
\[ \triangle BMK\sim\triangle BCA. \]
Отсюда
\[ \frac{BM}{BC}=\frac{BK}{BA}. \]
Но \(AK=KB\), поэтому \(AB=2BK\), то есть
\[ \frac{BK}{BA}=\frac{1}{2}. \]
Следовательно,
\[ BM=\frac{BC}{2}. \]
Точка \(M\) лежит на \(BC\), значит,
\[ MC=BC-BM=\frac{BC}{2}=BM. \]
Доказано: \(BM=MC\).
Обсуждение
2 сообщенияреши
На фото три задачи — вот решения каждой.
Задача 2
Ответ: \(11\) см.
\(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит:
- \(MB=\frac{AB}{2}\),
- \(BN=\frac{BC}{2}\),
- \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(MN=\frac{AC}{2}\).
Тогда: \[ P_{MBN}=MB+BN+MN=\frac{AB+BC+AC}{2} \] \[ P_{MBN}=\frac{22}{2}=11\text{ см}. \]
Задача 3
Нужно доказать: \(KN\parallel LM\).
В треугольнике \(ABC\) точки \(K\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\). Значит, \(KN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому: \[ KN\parallel AC. \]
В треугольнике \(ADC\) точки \(L\) и \(M\) — середины сторон \(AD\) и \(CD\). Значит, \(LM\) — средняя линия треугольника \(ADC\), поэтому: \[ LM\parallel AC. \]
Так как \(KN\) и \(LM\) обе параллельны \(AC\), то: \[ KN\parallel LM. \]
Что и требовалось доказать.
Вариант B1, задание 1
Дано: \(AK=KB\), то есть \(K\) — середина \(AB\), и \(\angle 1=\angle 2\). Нужно доказать: \(BM=MC\).
Так как \(M\) лежит на \(BC\), то: \[ \angle BMK=\angle 1,\qquad \angle BCA=\angle 2. \] По условию \(\angle 1=\angle 2\), значит: \[ \angle BMK=\angle BCA. \]
У треугольников \(BMK\) и \(BCA\):
- угол \(B\) — общий;
- \(\angle BMK=\angle BCA\).
Значит, треугольники подобны: \[ \triangle BMK\sim \triangle BCA. \]
Тогда: \[ \frac{BM}{BC}=\frac{BK}{BA}. \] Но \(K\) — середина \(AB\), поэтому: \[ \frac{BK}{BA}=\frac{1}{2}. \] Следовательно: \[ BM=\frac{BC}{2}. \]
Поэтому \(M\) — середина \(BC\), то есть: \[ BM=MC. \]
Что и требовалось доказать.
