В правильный шестиугольник со стороной 1 вписали окружность. Точку её касания с одной из его сторон соединили с концами противоположной стороны. Найдите длину хорды,

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: правильный шестиугольник; внутри — вписанная окружность; точка касания окружности с верхней стороной соединена двумя отрезками с концами нижней противоположной стороны; между вторичными точками пересечения этих отрезков с окружностью проведена красная горизонтальная хорда, обозначенная $x$; справа около верхней правой стороны шестиугольника стоит число 1.]

2. ★★☆ В правильный шестиугольник со стороной 1 вписали окружность. Точку её касания с одной из его сторон соединили с концами противоположной стороны. Найдите длину хорды, которую высекает на окружности полученный угол. (▶▶ рис.)

Answer

Краткий ответ: $x=\dfrac{12}{13}$.

Как решать

Пусть $T$ — точка касания окружности с верхней стороной шестиугольника, а $A$ и $B$ — концы противоположной стороны. Лучи $TA$ и $TB$ повторно пересекают окружность в точках $P$ и $Q$. Красная хорда — это $PQ=x$.

1. Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника со стороной $1$:
$$
r=\frac{\sqrt3}{2}.
$$

2. Обозначим $\theta=\angle ATB=\angle PTQ$. Треугольник $TAB$ равнобедренный. Его высота к $AB$ равна расстоянию между противоположными сторонами шестиугольника:
$$
2r=\sqrt3,\qquad \frac{AB}{2}=\frac12.
$$
Поэтому
$$
\tan\frac{\theta}{2}
=\frac{\frac12}{\sqrt3}
=\frac{1}{2\sqrt3}.
$$
Используем формулу
$$
\sin\theta=\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}:
$$
$$
\sin\theta=\frac{4\sqrt3}{13}.
$$

3. Вписанный угол $\theta$ опирается на хорду $PQ$, значит, соответствующий центральный угол равен $2\theta$. Тогда
$$
x=2r\sin\theta
=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{13}
=\frac{12}{13}.
$$

Проверка: $\dfrac{12}{13}\approx0{,}923$, а диаметр окружности равен $\sqrt3\approx1{,}732$, поэтому длина хорды действительно меньше диаметра.