Найди ответ на номер 266

Ответ: прямая \(AB\) пересекает ось \(x\) в точке \((2;0)\), а ось \(y\) — в точке \((0;3)\).

Как это получить

1. Отмечаем точки:

   • \(A(4;-3)\): вправо на 4, вниз на 3;
   • \(B(-2;6)\): влево на 2, вверх на 6.

   Через них проводим прямую \(AB\).

2. Найдём уравнение прямой. Угловой коэффициент: \[ k=\frac{6-(-3)}{-2-4}=\frac{9}{-6}=-\frac{3}{2}. \] Подставляем точку \(A(4;-3)\): \[ -3=-\frac{3}{2}\cdot4+b, \] \[ -3=-6+b,\qquad b=3. \] Значит, \[ y=-\frac{3}{2}x+3. \]

3. Пересечение с осью \(x\): там \(y=0\): \[ 0=-\frac{3}{2}x+3 \Rightarrow \frac{3}{2}x=3 \Rightarrow x=2. \] То есть точка \((2;0)\).

4. Пересечение с осью \(y\): там \(x=0\): \[ y=-\frac{3}{2}\cdot0+3=3. \] То есть точка \((0;3)\).

Проверка: для \(B(-2;6)\): \(y=-\frac{3}{2}\cdot(-2)+3=3+3=6\) — всё верно.

В тетради можно оформить так:

Задание. Построить прямую \(AB\), где \(A(4;-3)\), \(B(-2;6)\), и найти точки её пересечения с осями координат.

Решение.

1. Отметим точки \(A(4;-3)\) и \(B(-2;6)\), проведём через них прямую \(AB\).

2. Найдём уравнение прямой \(AB\). Угловой коэффициент: \[ k=\frac{6-(-3)}{-2-4}=\frac{9}{-6}=-\frac{3}{2}. \] Подставим точку \(A(4;-3)\) в уравнение \(y=kx+b\): \[ -3=-\frac{3}{2}\cdot 4+b, \] \[ -3=-6+b,\qquad b=3. \] Значит, \[ y=-\frac{3}{2}x+3. \]

3. Пересечение с осью \(Ox\): подставляем \(y=0\): \[ 0=-\frac{3}{2}x+3, \] \[ \frac{3}{2}x=3,\qquad x=2. \] Точка пересечения: \((2;0)\).

4. Пересечение с осью \(Oy\): подставляем \(x=0\): \[ y=-\frac{3}{2}\cdot 0+3=3. \] Точка пересечения: \((0;3)\).

Ответ: прямая \(AB\) пересекает ось \(Ox\) в точке \((2;0)\), а ось \(Oy\) — в точке \((0;3)\).

Вот то же решение только через вычисления, без построения:

Дано: \(A(4;-3)\), \(B(-2;6)\).

1. Угловой коэффициент прямой \(AB\): \[ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-(-3)}{-2-4}=\frac{9}{-6}=-\frac{3}{2}. \]

2. Находим \(b\) подстановкой \(A(4;-3)\) в \(y=kx+b\): \[ -3=-\frac{3}{2}\cdot 4+b, \] \[ -3=-6+b, \] \[ b=-3+6=3. \]

3. Уравнение прямой: \[ y=-\frac{3}{2}x+3. \]

4. С осью \(Ox\) — подставляем \(y=0\): \[ 0=-\frac{3}{2}x+3, \] \[ \frac{3}{2}x=3, \] \[ x=\frac{3\cdot 2}{3}=2 \;\Rightarrow\; (2;0). \]

5. С осью \(Oy\) — подставляем \(x=0\): \[ y=-\frac{3}{2}\cdot 0+3=3 \;\Rightarrow\; (0;3). \]

6. Проверка по точке \(B(-2;6)\): \[ y=-\frac{3}{2}\cdot(-2)+3=3+3=6. \]

Ответ: \((2;0)\) и \((0;3)\).

Да, если в задании сказано «постройте прямую \(AB\)», чертёж нужен.

Как оформить:

1. Начерти оси \(Ox\) и \(Oy\), возьми единичный отрезок — 1 клетку.
2. Отметь точки:
   • \(A(4;-3)\) — вправо 4, вниз 3;
   • \(B(-2;6)\) — влево 2, вверх 6.
3. Приложи линейку и проведи через \(A\) и \(B\) прямую, продлив её до пересечения с осями.
4. Отметь на чертеже точки пересечения:
   • с осью \(Ox\) — \((2;0)\);
   • с осью \(Oy\) — \((0;3)\).

Если в условии требуется только вычислить точки пересечения, без слова «постройте», чертёж можно не делать — но с ним проще проверить ответ.