Найти область опр 1) f(x) = √((x+1)/(x-3)); 2) f(x) = x/(x² - x - 2); 3) f(x) = √(x-5)/(2x² - 9x - 5)

Краткий ответ:

1. \(x \in (-\infty; -1] \cup (3; +\infty)\)
2. \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)\)
3. \(x \in (5; +\infty)\)

Как рассуждать: Область определения функции — это все значения \(x\), при которых выражение \(f(x)\) имеет смысл. Главные ограничения здесь такие:

• знаменатель дроби не может быть равен нулю;
• подкоренное выражение (при квадратном корне) должно быть неотрицательным, то есть \(\ge 0\).

Решение по пунктам:

1. \(f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}\)

Должны одновременно выполняться два условия: \[ \frac{x+1}{x-3} \ge 0 \quad \text{и} \quad x-3 \neq 0 \] Решаем неравенство методом интервалов. Нули числителя: \(x = -1\). Нули знаменателя: \(x = 3\). Отмечаем точки на числовой прямой: \(-1\) закрашена (неравенство нестрогое), а \(3\) выколота (знаменатель не равен нулю).

• при \(x < -1\) дробь положительна;
• при \(-1 < x < 3\) дробь отрицательна;
• при \(x > 3\) дробь положительна.

Нам нужны промежутки со знаком «\(+\)». Получаем: \(x \in (-\infty; -1] \cup (3; +\infty)\).

2. \(f(x) = \frac{x}{x^2 - x - 2}\)

Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x^2 - x - 2 \neq 0 \] Решаем квадратное уравнение \(x^2 - x - 2 = 0\). Его корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\). Значит, \(x \neq 2\) и \(x \neq -1\). Остальные значения \(x\) допустимы. Область определения: все действительные числа, кроме \(-1\) и \(2\), то есть \(x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)\).

3. \(f(x) = \frac{\sqrt{x-5}}{2x^2 - 9x - 5}\)

Здесь два ограничения:

• подкоренное выражение неотрицательно: \(x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5\);
• знаменатель не равен нулю: \(2x^2 - 9x - 5 \neq 0\).

Найдём корни знаменателя. Дискриминант: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2 \] \[ x = \frac{9 \pm 11}{4} \] \(x_1 = \frac{20}{4} = 5\), \(x_2 = \frac{-2}{4} = -0{,}5\). То есть \(x \neq 5\) и \(x \neq -0{,}5\).

Совмещаем условия: нам нужно \(x \ge 5\), но при этом \(x \neq 5\). Значит, \(x > 5\). Второй корень \(-0{,}5\) в этот промежуток не попадает. Область определения: \(x \in (5; +\infty)\).

Проверка:

• Для 1) возьмём \(x = 4\) (из интервала \(x>3\)): \(f(4) = \sqrt{\frac{5}{1}} = \sqrt{5}\) — определено. Возьмём \(x = 0\) (не из ответа): \(f(0) = \sqrt{\frac{1}{-3}}\) — корень из отрицательного числа не извлекается, \(x=0\) не подходит.
• Для 2) возьмём \(x = 0\): \(f(0) = \frac{0}{-2} = 0\) — определено. Подставим \(x = 2\): в знаменателе \(4 - 2 - 2 = 0\), делить нельзя.
• Для 3) возьмём \(x = 6\): \(f(6) = \frac{\sqrt{1}}{72 - 54 - 5} = \frac{1}{13}\) — определено. Подставим \(x = 5\): знаменатель \(50 - 45 - 5 = 0\), делить нельзя, хотя корень \(\sqrt{0}\) существует.