Экзаменационная работа по математике. Вариант 1. 1. Вычислить: а) 64^(2/3)·4^(1/2)·(8^0)^-3; б) ((3^-2)^3·27^2)/9^(1/2)

Кратко

1. а) \(32\); б) \(\frac13\).
2. а) \(x=-4\); б) \(x=\frac{25}{2}\); в) \(x=13\); г) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
3. а) \(x\le -2\); б) \(1<x\le\frac32\).
4. \(y_{\max}=4{,}5\) при \(x=-1\); \(y_{\min}=-21{,}5\) при \(x=-3\).
5. \(S=36\pi\ \text{м}^2\), \(V=16\pi\ \text{м}^3\).

---

1. Вычислить

а)

\[ 64^{\frac23}\cdot 4^{\frac12}\cdot (8^0)^{-3} \] Так как \(64=4^3\), то \[ 64^{\frac23}=(4^3)^{\frac23}=4^2=16. \] Далее: \[ 4^{\frac12}=2,\qquad 8^0=1,\qquad 1^{-3}=1. \] Значит, \[ 16\cdot 2\cdot 1=32. \]

б)

\[ \frac{(3^{-2})^3\cdot 27^2}{9^{\frac12}} \] Приводим всё к основанию \(3\): \[ (3^{-2})^3=3^{-6},\qquad 27^2=(3^3)^2=3^6,\qquad 9^{\frac12}=\sqrt9=3. \] Тогда \[ \frac{3^{-6}\cdot 3^6}{3}=\frac{1}{3}. \]

---

2. Решить уравнения

а)

\[ \sqrt{-4-5x}=4 \] Область определения: \[ -4-5x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le-\frac45. \] Возводим обе части в квадрат: \[ -4-5x=16 \] \[ -5x=20 \] \[ x=-4. \] Корень входит в область определения. Проверка: \[ \sqrt{-4-5(-4)}=\sqrt{16}=4. \] Ответ: \(x=-4\).

б)

\[ \left(\frac19\right)^{x-13}=3 \] Так как \(\frac19=3^{-2}\), получаем: \[ (3^{-2})^{x-13}=3^1. \] \[ 3^{-2(x-13)}=3^1. \] Основания равны, значит равны и показатели: \[ -2(x-13)=1. \] \[ -2x+26=1 \] \[ -2x=-25 \] \[ x=\frac{25}{2}=12{,}5. \]

в)

\[ \log_4(x+3)=2 \] Область определения: \(x+3>0\), то есть \(x>-3\).

По определению логарифма: \[ x+3=4^2=16. \] \[ x=13. \] Корень подходит, так как \(13>-3\).

г)

\[ -\sin^2x+2\sin x-1=0 \] Умножим на \(-1\): \[ \sin^2x-2\sin x+1=0. \] Это полный квадрат: \[ (\sin x-1)^2=0. \] Значит, \[ \sin x=1. \] Отсюда \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

---

3. Решить неравенство

а)

\[ 0{,}9^x\ge 1\frac{19}{81} \] Преобразуем правую часть: \[ 1\frac{19}{81}=\frac{100}{81}. \] А так как \(0{,}9=\frac{9}{10}\), то \[ \frac{100}{81}=\left(\frac{10}{9}\right)^2=(0{,}9)^{-2}. \] Получаем: \[ 0{,}9^x\ge 0{,}9^{-2}. \] Основание \(0{,}9\) меньше \(1\), поэтому функция \(0{,}9^x\) убывает. При переходе к показателям знак неравенства меняется: \[ x\le -2. \] Ответ: \(x\in(-\infty;-2]\).

б)

\[ \log_{\frac12}(2x-2)\ge0 \] Область определения: \[ 2x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>1. \] Так как \(\log_{\frac12}1=0\), неравенство можно записать так: \[ \log_{\frac12}(2x-2)\ge\log_{\frac12}1. \] Основание \(\frac12<1\), значит логарифмическая функция убывает. Поэтому: \[ 0<2x-2\le1. \] Прибавляем 2: \[ 2<2x\le3. \] Делим на 2: \[ 1<x\le\frac32. \] Ответ: \(x\in\left(1;\frac32\right]\).

---

4. Наибольшее и наименьшее значения функции

\[ y=x^3-1{,}5x^2-6x+1,\qquad x\in[-3;3]. \]

Находим производную: \[ y'=3x^2-3x-6=3(x^2-x-2)=3(x-2)(x+1). \] Критические точки: \[ x=2,\qquad x=-1. \] Обе лежат на отрезке \([-3;3]\).

Считаем значения функции:

\[ y(-3)=(-3)^3-1{,}5\cdot9-6\cdot(-3)+1=-21{,}5; \]

\[ y(-1)=(-1)^3-1{,}5\cdot1-6\cdot(-1)+1=4{,}5; \]

\[ y(2)=8-1{,}5\cdot4-12+1=-9; \]

\[ y(3)=27-1{,}5\cdot9-18+1=-3{,}5. \]

Сравниваем: \[ \max_{[-3;3]}y=4{,}5 \quad\text{при }x=-1, \] \[ \min_{[-3;3]}y=-21{,}5 \quad\text{при }x=-3. \]

---

5. Конус

Дано: \[ h=3\ \text{м},\qquad d=8\ \text{м}. \] Радиус основания: \[ r=\frac d2=4\ \text{м}. \] Образующая конуса: \[ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\ \text{м}. \]

Площадь полной поверхности: \[ S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl. \] \[ S_{\text{полн}}=\pi\cdot16+\pi\cdot4\cdot5=16\pi+20\pi=36\pi\ \text{м}^2. \]

Объём: \[ V=\frac13\pi r^2h. \] \[ V=\frac13\pi\cdot16\cdot3=16\pi\ \text{м}^3. \]

Ответ: \[ S_{\text{полн}}=36\pi\ \text{м}^2,\qquad V=16\pi\ \text{м}^3. \]