найди область определения

Кратко

1. \(f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-3}}\) — \(D(f)=(-\infty;\,-1]\cup(3;\,+\infty)\)
2. \(f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-x-2}\) — \(D(f)=(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,2)\cup(2;\,+\infty)\)
3. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-5}}{2x^{2}-9x-5}\) — \(D(f)=(5;\,+\infty)\)

Принцип

Область определения — все \(x\), при которых выражение можно вычислить. Два ограничения:

• корень чётной степени: подкоренное выражение \(\ge 0\);
• деление: знаменатель \(\ne 0\).

Если ограничений несколько, берём пересечение (все условия сразу).

Решение

1) Нужно \(\dfrac{x+1}{x-3}\ge 0\) и \(x\ne 3\).

Метод интервалов: нули числителя \(x=-1\), нули знаменателя \(x=3\). На промежутках знак дроби: до \(-1\) «+», между \(-1\) и \(3\) «−», после \(3\) «+». Значит \(\ge 0\) при \(x\le -1\) или \(x\ge 3\). Точку \(x=3\) выбрасываем — знаменатель обращается в нуль:

\[D(f)=(-\infty;-1]\cup(3;+\infty).\]

Проверка: \(x=-1\): \(\frac{0}{-4}=0\) — годится; \(x=4\): \(\frac{5}{1}>0\) — годится; \(x=0\): \(-\frac13<0\) — не годится. ✔

Под плюсом цифра мелкая и читается как 1; если там 7, схема та же, только нуль числителя сдвинется в \(-7\).

2) Ограничение одно — знаменатель: \(x^{2}-x-2\ne 0\). По теореме Виета корни \(x=2\) и \(x=-1\). Числитель \(x\) никаких запретов не даёт. Выкалываем две точки:

\[D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;2)\cup(2;+\infty).\]

Проверка: \(x=2\): знаменатель \(0\) — нельзя; \(x=0\): \(\frac{0}{-2}=0\) — можно. ✔

3) Два условия сразу: \[x-5\ge 0 \quad\text{и}\quad 2x^{2}-9x-5\ne 0.\] Корень: \(x\ge 5\). Уравнение \(2x^{2}-9x-5=0\): \(D=81+40=121\), \(x=\frac{9\pm 11}{4}\), то есть \(x=5\) и \(x=-\frac12\).

Из промежутка \(x\ge 5\) запрещённой оказалась только точка \(x=5\) (она же нуль корня — там «дырка»). Поэтому конец интервала становится открытым:

\[D(f)=(5;+\infty).\]

Проверка: \(x=6\): \(\frac{1}{72-54-5}=\frac{1}{13}\) — можно; \(x=5\): знаменатель \(0\) — нельзя. ✔

Главное, что стоит запомнить: сначала выписываешь все ограничения, потом берёшь их пересечение, а особое внимание — точкам, где корень и знаменатель «встречаются» (как в №3, где \(x=5\) выкалывается).