11.2,11.4,11.6,11.8,11.10,11.12

Ниже — ответы и принцип решения. В пункте 11.4(2) на фото не удаётся надёжно прочитать индексы корней и подкоренные выражения, поэтому этот фрагмент я не угадываю.

11.2

Используем \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=a^{m/n}\).

1. \(\left(\sqrt[4]{11}\right)^6=11^{6/4}=11\sqrt{11}\)
2. \(\left(\frac38\sqrt[3]{45}\right)^3=\frac{27}{512}\cdot45=\frac{1215}{512}\)
3. \(\left(\frac13\sqrt[4]{45}\right)^4=\frac{1}{81}\cdot45=\frac59\)
4. \(\left(2\sqrt[3]{5}\right)^5=32\cdot5^{5/3}=160\sqrt[3]{25}\)

Ответ: \(11\sqrt{11};\ \frac{1215}{512};\ \frac59;\ 160\sqrt[3]{25}\).

11.4(1)

Перепишем числа как пятые степени: \[ 0{,}00001=0{,}1^5,\qquad 0{,}00032=0{,}2^5. \] Тогда \[ 200\sqrt[5]{0{,}00001}-5\sqrt[5]{0{,}00032} =200\cdot0{,}1-5\cdot0{,}2=20-1=19. \] Ответ: \(19\).

Для 11.4(2) нужен более чёткий фрагмент именно этой строки.

11.6

Корень четвёртой степени существует только из неотрицательного выражения.

1. \(x-2\ge0\), значит \(x\ge2\): \[ D(y)=[2;+\infty). \]

2. \[ x^2-4x+3\ge0, \] \[ (x-1)(x-3)\ge0. \] Подходит \(x\le1\) или \(x\ge3\): \[ D(y)=(-\infty;1]\cup[3;+\infty). \]

11.8

Корень четвёртой степени всегда неотрицателен. Когда подкоренное выражение меняется от \(0\) до \(+\infty\), сам корень тоже принимает все значения от \(0\) до \(+\infty\).

Поэтому для обеих функций \[ E(y)=[0;+\infty). \]

11.10

Сравниваем подкоренное число с соседними точными степенями.

1. \(2^3=8<18<27=3^3\), значит \[ 2<\sqrt[3]{18}<3. \]

2. \(2^4=16<21<81=3^4\), значит \[ 2<\sqrt[4]{21}<3. \]

3. \(4^3=64<100<125=5^3\), значит \[ 4<\sqrt[3]{100}<5. \]

4. \(3^4=81<212<256=4^4\), поэтому \[ 3<\sqrt[4]{212}<4. \] После умножения на \(-1\) знак неравенства меняется: \[ -4<-\sqrt[4]{212}<-3. \]

Ответ:

1. между \(2\) и \(3\);
2. между \(2\) и \(3\);
3. между \(4\) и \(5\);
4. между \(-4\) и \(-3\).

11.12

Решаем в действительных числах.

1. \[ x^9=10 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt[9]{10}. \]

2. Степень чётная: \[ x^{10}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt[10]{9}. \]

3. Степень нечётная, знак сохраняется: \[ x^9=-64 \quad\Rightarrow\quad x=-\sqrt[9]{64}=-\sqrt[3]{4}. \]

4. \(x^{10}=-2\). Чётная степень не может быть отрицательной: \[ \text{решений нет}. \]

5. \[ \sqrt[3]{x}=-2 \quad\Rightarrow\quad x=(-2)^3=-8. \]

6. \[ \sqrt[3]{2x+7}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+7=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac72. \]

Ответ:

1. \(\sqrt[9]{10}\);
2. \(\pm\sqrt[10]{9}\);
3. \(-\sqrt[3]{4}\);
4. нет действительных корней;
5. \(-8\);
6. \(-\frac72\).

Пришли, пожалуйста, отдельно крупный фрагмент 11.4(2) — дорешаю его так же подробно.