1. Сколькими способами можно составить расписание уроков на понедельник, когда изучаются литература, алгебра, геометрия, история, география, причем сдвоенных уроков нет?

Кратко

1. 120 способов
2. 45 прямых
3. 24 360 способов
4. \(\frac{2}{5}=0{,}4\), или 40%
5. 2970 способов
6. \(\frac{1}{12}\)

Почему так

1. В понедельник пять разных предметов, значит, нужно расставить их по пяти местам. На первое место — 5 вариантов, на второе — 4, и так далее: \[ 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120. \]

2. Прямая определяется двумя точками. Порядок точек не важен: \[ C_{10}^{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45. \] Условие «никакие три не лежат на одной прямой» гарантирует, что разные пары точек дают разные прямые.

3. Должности разные, поэтому порядок выбора важен: \[ 30\cdot29\cdot28=24\,360. \] Это то же самое, что \(A_{30}^{3}\).

4. Всего 20 равновозможных номеров. Простые числа от 1 до 20: \[ 2,3,5,7,11,13,17,19 \] — всего 8 чисел. Единица простым числом не является. \[ P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4. \]

5. Выбираем 2 юношей из 10 и 2 девушек из 12. Порядок внутри выбранной группы не важен: \[ C_{10}^{2}\cdot C_{12}^{2} =\frac{10\cdot9}{2}\cdot\frac{12\cdot11}{2} =45\cdot66=2970. \] В условии не требуется дополнительно распределять выбранных по конкретным парам.

6. Всего четыре различные буквы, поэтому число всевозможных последовательностей: \[ 4! = 24. \] Подходят ровно две последовательности: «мука» и «кума». Значит, \[ P=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}. \]