описать функции
Сверь числа и знаки с фото.
- Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 4\); б) \(y = -\frac{1}{4}x^2 + x - 1\); в) \(y = x^2 + 3x\).
Это задание 153. Все три функции — квадратичные, их графики — параболы. Удобно записать их в виде с выделенным квадратом.
а)
\[
y=\frac13x^2-4x+4=\frac13(x-6)^2-8
\]
- ветви вверх, вершина \((6;-8)\), ось симметрии \(x=6\);
- \(x\in\mathbb R\), \(y\in[-8;+\infty)\);
- минимум \(-8\) при \(x=6\), наибольшего значения нет;
- нули: \(x=6\pm2\sqrt6\), то есть примерно \(1{,}10\) и \(10{,}90\);
- \(y(0)=4\);
- убывает на \((-\infty;6]\), возрастает на \([6;+\infty)\);
- \(y<0\) между корнями, \(y>0\) — вне этого промежутка.
б)
\[
y=-\frac14x^2+x-1=-\frac14(x-2)^2
\]
- ветви вниз, вершина \((2;0)\), ось \(x=2\);
- \(x\in\mathbb R\), \(y\in(-\infty;0]\);
- максимум \(0\) при \(x=2\), наименьшего значения нет;
- единственный нуль \(x=2\), ось \(Ox\) касается вершины;
- \(y(0)=-1\);
- возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\);
- \(y<0\) при всех \(x\ne2\), \(y=0\) только при \(x=2\).
в)
\[
y=x^2+3x=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94
\]
- ветви вверх, вершина \(\left(-\frac32;-\frac94\right)\), ось \(x=-\frac32\);
- \(x\in\mathbb R\), \(y\in\left[-\frac94;+\infty\right)\);
- минимум \(-\frac94\), наибольшего значения нет;
- нули: \(x=-3\) и \(x=0\);
- \(y(0)=0\);
- убывает на \(\left(-\infty;-\frac32\right]\), возрастает на \(\left[-\frac32;+\infty\right)\);
- \(y>0\) при \(x<-3\) или \(x>0\), \(y<0\) при \(-3<x<0\).
Как рассуждать. Для функции \(y=ax^2+bx+c\) вершина находится по формуле \[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \] Если \(a>0\), ветви вверх и \(y\ge y_0\); если \(a<0\), ветви вниз и \(y\le y_0\). Нули находим из уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Промежутки возрастания и убывания меняются в вершине.
Например, для а): \[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot \frac13}=6,\qquad y_0=\frac13\cdot36-24+4=-8. \] Уравнение \(\frac13x^2-4x+4=0\) после умножения на 3 даёт \[ x^2-12x+12=0, \] откуда \[ x=6\pm2\sqrt6. \]
Для графика: нанесите вершину, нули, точку пересечения с осью \(Oy\) и симметричную ей точку; затем проведите плавную параболу. Например, у а) точка \((0;4)\) симметрична \((12;4)\) относительно \(x=6\).
Проверка: подстановка даёт \(y(6)=-8\), \(y(2)=0\), \(y\left(-\frac32\right)=-\frac94\); корни действительно обращают функцию в нуль.
Обсуждение
4 сообщения155
Номер вижу, а самого условия нет — по одному номеру задачу не восстановить. Пришлите текст или фото задания 155, и я разберу его так же подробно: с решением и объяснением шагов.
155 описать функцию
Задание 155 — построить графики трёх парабол. Ниже — точки для построения и свойства каждой функции (раз ты просишь ещё и описать).
а) \(y=0{,}5x^2-2\)
Это парабола \(y=0{,}5x^2\), сдвинутая на 2 единицы вниз.
- ветви вверх, вершина \((0;-2)\), ось симметрии — ось \(Oy\);
- нули: \(0{,}5x^2-2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2\);
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-2;+\infty)\);
- \(y_{\min}=-2\) при \(x=0\), наибольшего значения нет;
- убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\);
- \(y<0\) при \(x\in(-2;2)\), \(y>0\) при \(|x|>2\).
Точки для графика:
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(6\) | \(0\) | \(-1{,}5\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(0\) | \(6\) |
б) \(y=x^2-4x+4\)
Выделяем квадрат: \[ y=x^2-4x+4=(x-2)^2 \] Это парабола \(y=x^2\), сдвинутая на 2 единицы вправо.
- ветви вверх, вершина \((2;0)\), ось симметрии \(x=2\);
- нуль один: \(x=2\) (ось \(Ox\) касается вершины);
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[0;+\infty)\);
- \(y_{\min}=0\) при \(x=2\); \(y>0\) при всех \(x\ne2\);
- убывает на \((-\infty;2]\), возрастает на \([2;+\infty)\).
Точки для графика:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
в) \(y=-x^2+2x\)
Выделяем квадрат: \[ y=-x^2+2x=-(x^2-2x)=-(x-1)^2+1 \] Это парабола \(y=-x^2\), сдвинутая на 1 вправо и на 1 вверх.
- ветви вниз, вершина \((1;1)\), ось симметрии \(x=1\);
- нули: \(-x^2+2x=0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0\) или \(x=2\);
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;1]\);
- \(y_{\max}=1\) при \(x=1\), наименьшего значения нет;
- возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\);
- \(y>0\) при \(x\in(0;2)\), \(y<0\) при \(x<0\) или \(x>2\).
Точки для графика:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-3\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(-3\) |
Как строить: сначала находишь вершину по формуле \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\), затем берёшь 2–3 значения \(x\) слева и справа от неё и соединяешь точки плавной симметричной кривой.
Проверка: подстановка вершин даёт \(y(0)=-2\), \(y(2)=0\), \(y(1)=1\) — всё сходится с найденными значениями.
