Разложить на множители

Кратко — разложение на множители:

1. \(2a(a-2)(a+2)\)
2. \(c^2(4c-1)(4c+1)\)
3. \((0{,}4x^2-5y^2)(0{,}4x^2+5y^2)\)
4. \((2ac-0{,}1b^3)(2ac+0{,}1b^3)\)
5. \((10-c)^2\)
6. \((b+c)^2\)
7. \((a-bc)(a+bc)\)
8. \((3a+b)(9a^2-3ab+b^2)\)
9. \((x-2)^3\)
10. \((x+3)^3\)
11. \((x-y)(x+y)(x^2+y^2)\)
12. \((x-2)(x+2)(x^2+4)\)
13. \((a-b)(a^2+ab+b^2-1)\)
14. \((a+1)^2(a-1)\)
15. \(3(a+5)(b-1)\)
16. \(-3b(2b+1)^2\)
17. \((x+4)(2x-1)\)
18. \((x-2)(x-9)^2\)
19. \((a+2b)^3\)
20. \((x+3)^3\)

Как это устроено

Сначала всегда ищи общий множитель, потом формулы:

\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v) \]

\[ u^3\pm v^3=(u\pm v)(u^2\mp uv+v^2) \]

\[ (u\pm v)^2=u^2\pm2uv+v^2,\qquad (u\pm v)^3=u^3\pm3u^2v+3uv^2\pm v^3 \]

Например:

\[ 2a^3-8a=2a(a^2-4)=2a(a-2)(a+2) \]

Группировка в №13:

\[ a^3-b^3-a+b=(a^3-b^3)-(a-b) \]

\[ =(a-b)(a^2+ab+b^2)-(a-b) =(a-b)(a^2+ab+b^2-1) \]

№17 раскладывается подбором: \(2\cdot(-4)=-8\), а сумма нужных чисел равна \(7\). Это \(8\) и \(-1\):

\[ 2x^2+7x-4=2x^2+8x-x-4=(x+4)(2x-1) \]

Проверка для №18:

\[ (x-2)(x-9)^2=(x-2)(x^2-18x+81) \]

\[ =x^2(x-2)-18x(x-2)+81(x-2) \]

— совпадает с исходным выражением.