в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
123. Постройте график функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ и найдите, используя график:
а) значение у при $x = -2,3; -0,5; 1,2$;
б) значения $x$, при которых $y = -4; -1; 1,7$;
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Answer

На фото отмечено задание 123 — его и решаю.

Краткий ответ

График — парабола $y=2(x+2)^2-6$, ветви направлены вверх, вершина $(-2;-6)$, ось симметрии $x=-2$.

а) $y(-2{,}3)=-5{,}82$; $y(-0{,}5)=-1{,}5$; $y(1{,}2)=14{,}48$.
По графику примерно: $-5{,}8;\ -1{,}5;\ 14{,}5$.

б) при $y=-4$: $x=-3$ и $x=-1$;
при $y=-1$: $x=-2\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}\approx -3{,}58$ и $-0{,}42$;
при $y=1{,}7$: $x\approx -3{,}96$ и $-0{,}04$.

в) нули функции:
$$
x=-2-\sqrt3\approx -3{,}73,\qquad x=-2+\sqrt3\approx -0{,}27.
$$
$y<0$ на промежутке $(-2-\sqrt3;\ -2+\sqrt3)$, то есть примерно $(-3{,}73;\ -0{,}27)$.
$y>0$ — на остальных промежутках.

г) функция убывает при $x\le -2$ и возрастает при $x\ge -2$.
Наименьшее значение функции: $y_{\min}=-6$ при $x=-2$.

Как это получить

Выделим полный квадрат:

$$
y=2x^2+8x+2=2(x^2+4x+1)=2\bigl((x+2)^2-3\bigr)=2(x+2)^2-6.
$$

Отсюда видно, что вершина параболы — точка $(-2;-6)$, а ветви идут вверх.

Точки для построения графика:

$x$ |
$-5$ |
$-4$ |
$-3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |

$y$ |
$12$ |
$2$ |
$-4$ |
$-6$ |
$-4$ |
$2$ |
$12$ |

Через эти точки проводится плавная парабола.

Почему получаются такие ответы

Значение $y$ при заданном $x$ — это ордината точки графика с этой абсциссой.

Чтобы найти $x$ при заданном $y$, проводим горизонтальную прямую $y=\text{число}$ и смотрим, где она пересекает параболу.

Нули функции — это точки пересечения графика с осью $Ox$. Решаем:
$$
2x^2+8x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2\pm\sqrt3.
$$

Так как ветви параболы направлены вверх, между корнями график ниже оси $Ox$, а вне корней — выше.

Слева от вершины $x=-2$ парабола убывает, справа — возрастает.

Проверка

$$
y(-2)=2\cdot4+8\cdot(-2)+2=8-16+2=-6,
$$
это действительно наименьшее значение. При $x=-3$ и $x=-1$:
$$
y(-3)=18-24+2=-4,\qquad y(-1)=2-8+2=-4.
$$
Значит, для $y=-4$ точки $x=-3$ и $x=-1$ найдены верно.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

Обсуждение