1759. Сторона равностороннего треугольника равна 30√3. Найдите высоту этого треугольника.

Краткий ответ: высота равна 45.

Как это получается

Высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) делит его на два равных прямоугольных треугольника: гипотенуза \(a\), один катет \(\frac{a}{2}\) (высота — ещё и медиана), второй катет — сама высота \(h\).

По теореме Пифагора: \[ h^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4} \] \[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Подставляем \(a=30\sqrt{3}\): \[ h=\frac{30\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{30\cdot 3}{2}=45 \]

Второй способ (через угол 60°): в равностороннем треугольнике каждый угол равен \(60^\circ\), а высота — это катет, противолежащий углу \(60^\circ\): \[ \sin 60^\circ=\frac{h}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \Rightarrow\ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Проверка: \(45^2=2025\); \(\left(\frac{30\sqrt{3}}{2}\right)^2=450\) — катет; \(450+2025=2475=\left(30\sqrt{3}\right)^2=2700\)? Пересчитаю: \(\left(15\sqrt{3}\right)^2=225\cdot3=675\), тогда \(2025+675=2700\), а \(\left(30\sqrt{3}\right)^2=900\cdot3=2700\) — сходится.

Вывод-приём: для равностороннего треугольника со стороной \(a\) сразу работают формулы \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) и \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\); главное — помнить, что высота одновременно является медианой и делит сторону пополам.