Реши все номера и приложи картинки к ответам

Все номера — на построение циркулем и линейкой. Картинки к ответу приложить не могу: изображения я не вставляю. Зато ниже пошагово расписано каждое построение и то, что должно получиться на чертеже, — по этим шагам ты начертишь все номера сам.

Коротко по номерам

• №1 — три медианы; все три пересекаются в одной точке (центроид).
• №2 — три биссектрисы; все три пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности).
• №3 — три высоты; их прямые пересекаются в ортоцентре.
• №4–7 — одна высота, медиана, высота и биссектриса в заданных треугольниках.

Три приёма, из которых состоит всё

1. Середина отрезка \(AB\): радиусом больше половины \(AB\) проведи дуги с центрами \(A\) и \(B\); через две точки пересечения дуг проведи прямую — она пересечёт \(AB\) в середине \(M\), при этом \(AM=MB\).
2. Биссектриса угла с вершиной \(O\): радиусом \(r\) проведи дугу, пересекающую стороны в \(X\) и \(Y\); из \(X\) и \(Y\) одинаковым радиусом сделай засечки — они пересекутся в \(Z\); луч \(OZ\) и есть биссектриса, \(\angle XOZ=\angle ZOY\).
3. Перпендикуляр из точки \(P\) к прямой \(l\): радиусом больше расстояния от \(P\) до \(l\) проведи дугу, пересекающую \(l\) в \(X\) и \(Y\); из \(X\) и \(Y\) одинаковым радиусом проведи дуги до пересечения в \(Q\); тогда \(PQ\perp l\), а \(H=PQ\cap l\) — основание высоты. Если перпендикуляр не помещается на стороне, продли сторону.

№1. Медианы и точка их пересечения

а) \(ABC\): найди середины \(AB\), \(BC\), \(CA\) (приём 1) и соедини каждую вершину с серединой противоположной стороны. Все три медианы пройдут через одну точку внутри треугольника. Проверка: эта точка делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. б) \(MKN\): так же — медианы из \(M\), \(K\), \(N\) к серединам противоположных сторон.

№2. Биссектрисы

а) \(ABC\): построй биссектрисы углов \(A\), \(B\), \(C\) (приём 2) и продли каждую до противоположной стороны. Все три пересекутся в одной точке внутри — это центр вписанной окружности. Проверка: расстояния от неё до всех трёх сторон равны. б) \(EFP\): то же для углов \(E\), \(F\), \(P\); приём одинаков для острого и тупого угла.

№3. Высоты и ортоцентр

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону (приём 3).

а) \(EMN\): из \(M\) на \(EN\), из \(E\) на \(MN\), из \(N\) на \(EM\). Треугольник остроугольный — все высоты и ортоцентр внутри. б) \(ABC\): у вершины \(C\) стоит знак прямого угла, значит \(AC\perp BC\). Поэтому высота из \(A\) — это катет \(AC\), высота из \(B\) — катет \(BC\), а третья высота идёт из \(C\) на гипотенузу \(AB\). Все три пересекаются в \(C\): ортоцентр прямоугольного треугольника — вершина прямого угла. в) \(PQK\): из \(P\) на \(QK\), из \(Q\) на \(PK\), из \(K\) на \(PQ\). Судя по чертежу, треугольник тупоугольный: два основания высот окажутся на продолжениях сторон, а ортоцентр — вне треугольника.

№4. Высота \(AK\)

Опусти перпендикуляр из \(A\) на прямую \(BC\), основание обозначь \(K\): \(AK\perp BC\). На чертеже угол \(B\) выглядит тупым, поэтому \(K\) попадёт на продолжение \(BC\) за точку \(B\). Если у тебя \(K\) оказалась на отрезке \(BC\), значит угол \(B\) острый — построение от этого не меняется.

№5. Медиана \(MF\)

\(M\) — вершина, значит \(F\) — середина \(KN\): раздели \(KN\) пополам (приём 1), отметь \(F\), проведи \(MF\). Проверка: \(KF=FN\). Прямой угол при \(K\) для медианы не нужен — он дан, чтобы не путать медиану с высотой.

№6. Высота \(BD\)

Высота из \(B\) — перпендикуляр к \(AC\). Продли \(AC\) за точку \(C\) и опусти перпендикуляр из \(B\): основание \(D\) окажется на продолжении \(AC\), потому что угол \(C\) тупой. \(BD\perp AC\).

№7. Биссектриса \(CK\)

Построй биссектрису угла \(C\) (приём 2) — она пересечёт \(AB\) в точке \(K\), при этом \(\angle ACK=\angle KCB\). Проверка: \(K\) лежит на отрезке \(AB\), внутрь треугольника.

Как проверить себя

• Три медианы, три биссектрисы, три высоты должны пересечься в одной точке; если три линии образовали маленький треугольник — сбилась засечка циркуля.
• Медиана: половины стороны равны.
• Биссектриса: равные углы (проверь транспортиром).
• Высота: угол \(90^\circ\) (проверь угольником).