Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Разобрал все четыре задачи варианта 3 — решения ниже.

1. Доказательство: \(PP_1Q_1Q\) — параллелограмм

В параллелограмме \(MNPQ\) противоположные стороны равны и параллельны, поэтому как векторы \[ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MN}. \] Аналогично в параллелограмме \(MNP_1Q_1\): \[ \overrightarrow{P_1Q_1}=\overrightarrow{MN}. \]

Значит, \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{P_1Q_1}\), то есть \(PQ\parallel P_1Q_1\) и \(PQ=P_1Q_1\). У четырёхугольника \(PP_1Q_1Q\) одна пара противоположных сторон равна и параллельна — по признаку это параллелограмм. (То же самое: \(\overrightarrow{PP_1}=\overrightarrow{QQ_1}\).) \(\blacksquare\)

2. Сечение и его периметр — 18

Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(8;0;0)\), \(D(0;4;0)\), \(C(8;4;0)\), верхние точки — с \(z=6\). Тогда \(AD=4\), \(DC=8\), \(CC_1=6\), а \(M\) — середина \(DC\), то есть \(M(4;4;0)\).

Плоскость \((AB_1C_1)\) проходит через \(A\), \(B_1(8;0;6)\), \(C_1(8;4;6)\) и задаётся уравнением \(3x-4z=0\). Параллельная ей плоскость через \(M\): \[ 3x-4z=12. \]

Сечение — четырёхугольник с вершинами в серединах рёбер:

• \(K(4;0;0)\) — середина \(AB\),
• \(P(8;0;3)\) — середина \(BB_1\),
• \(R(8;4;3)\) — середина \(CC_1\),
• \(M(4;4;0)\) — середина \(DC\).

Это параллелограмм (\(KM\parallel PR\), так как обе прямые параллельны \(AD\)). Стороны: \[ KP=\sqrt{4^2+3^2}=5,\qquad PR=4. \] Периметр: \[ P=2(5+4)=18. \]

Построение: отмечаем середины \(K\) на \(AB\), \(P\) на \(BB_1\), \(M\) на \(DC\), \(R\) на \(CC_1\) и соединяем их последовательно — \(KPRM\) и есть искомое сечение.

3. Отрезки на параллельных плоскостях: \(A_1A_2=4\), \(B_1B_3=12{,}5\)

Три параллельные плоскости отсекают на любых двух прямых пропорциональные отрезки: \[ \frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{B_1B_2}{B_2B_3}. \] Отсюда \(A_1A_2\cdot B_2B_3=A_2A_3\cdot B_1B_2=6\cdot 5=30\).

Пусть \(A_1A_2=8k\), \(B_2B_3=15k\) (по условию их отношение \(8:15\)). Тогда \[ 8k\cdot 15k=30 \Rightarrow 120k^2=30 \Rightarrow k=\frac12. \] Значит \(A_1A_2=4\), \(B_2B_3=7{,}5\), и \[ B_1B_3=B_1B_2+B_2B_3=5+7{,}5=12{,}5. \]

Проверка пропорций: \(4:6=2:3\) и \(5:7{,}5=2:3\) — сходится.

4. Площадь \(\triangle ADC\): \(4\sqrt{33}\) см²

Сначала по теореме косинусов находим боковые рёбра: \[ DC^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cos 60^\circ=89-40=49 \Rightarrow DC=7, \] \[ DA^2=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cos 60^\circ=49 \Rightarrow DA=7. \]

Треугольник \(ADC\) равнобедренный: \(AD=DC=7\), \(AC=8\). Высота к основанию: \[ h=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}. \] Площадь: \[ S=\frac12\cdot 8\cdot \sqrt{33}=4\sqrt{33}\approx 23\ \text{см}^2. \]

Если нужно, могу отдельно подробнее расписать построение сечения в задаче 2 или проверку любого пункта.