Номер 1031
Сверь числа и знаки с фото.
1031 □ Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
Краткий ответ
а) 5, 4, 4 — остроугольный; б) 17, 8, 15 — прямоугольный; в) 9, 5, 6 — тупоугольный.
Как это определяется
Пусть \(c\) — наибольшая сторона, а \(\gamma\) — угол, лежащий против неё (он тоже наибольший). По теореме косинусов:
\[ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma \quad\Rightarrow\quad \cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \]
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак \(\cos\gamma\) совпадает со знаком числителя \(a^{2}+b^{2}-c^{2}\). Отсюда правило сравнения квадрата большей стороны с суммой квадратов двух других:
- \(c^{2}<a^{2}+b^{2}\) — \(\cos\gamma>0\), угол \(\gamma\) острый, а так как он наибольший, то и все углы острые → остроугольный;
- \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\) — \(\cos\gamma=0\), \(\gamma=90^\circ\) → прямоугольный;
- \(c^{2}>a^{2}+b^{2}\) — \(\cos\gamma<0\), \(\gamma\) тупой → тупоугольный.
Двух тупых (или двух прямых) углов в треугольнике быть не может, поэтому достаточно проверить только один наибольший угол.
Разбор по пунктам
а) 5, 4, 4. Большая сторона 5: \[ 5^{2}=25,\qquad 4^{2}+4^{2}=16+16=32,\qquad 25<32 \] Значит, \(\cos\gamma=\frac{32-25}{2\cdot4\cdot4}=\frac{7}{32}>0\) — треугольник остроугольный (это равнобедренный треугольник с углом около \(77^\circ\) при вершине).
б) 17, 8, 15. Большая сторона 17: \[ 17^{2}=289,\qquad 8^{2}+15^{2}=64+225=289,\qquad 289=289 \] \(\cos\gamma=0\), угол \(90^\circ\) — треугольник прямоугольный (известная пифагорова тройка 8, 15, 17).
в) 9, 5, 6. Большая сторона 9: \[ 9^{2}=81,\qquad 5^{2}+6^{2}=25+36=61,\qquad 81>61 \] \(\cos\gamma=\frac{61-81}{2\cdot5\cdot6}=-\frac{20}{60}=-\frac{1}{3}<0\) — угол тупой (около \(109^\circ\)), треугольник тупоугольный.
Проверка
Во всех трёх случаях выполняется неравенство треугольника (\(4+4>5\); \(8+15>17\); \(5+6>9\)), значит, треугольники с такими сторонами существуют, и сравнение корректно. Дополнительно значения косинусов \(\frac{7}{32}\), \(0\), \(-\frac{1}{3}\) дают углы примерно \(77^\circ\), \(90^\circ\), \(109^\circ\) — это подтверждает выводы.
Обсуждение
6 сообщений3
Краткий ответ
При полёте от Земли к Луне сила притяжения станции к Земле уменьшается, а к Луне увеличивается. В середине пути силы не равны: притяжение к Земле в 81 раз больше, чем к Луне.
Решение
Сила всемирного тяготения:
\[ F=\frac{G\cdot M\cdot m}{r^{2}} \]
Масса станции \(m\) и гравитационная постоянная \(G\) неизменны, поэтому всё определяется массой притягивающего тела и расстоянием до него.
1. Как меняются силы по пути.
По мере удаления от Земли расстояние \(r_{\text{З}}\) растёт, значит \(F_{\text{З}}\sim \dfrac{1}{r_{\text{З}}^{2}}\) убывает. Расстояние до Луны \(r_{\text{Л}}\) при этом уменьшается, поэтому \(F_{\text{Л}}\) возрастает.
2. Середина пути.
Здесь \(r_{\text{З}}=r_{\text{Л}}=\dfrac{R}{2}\), где \(R\) — расстояние Земля–Луна. Тогда
\[ \frac{F_{\text{З}}}{F_{\text{Л}}} = \frac{G M_{\text{З}} m/(R/2)^2}{G M_{\text{Л}} m/(R/2)^2} = \frac{M_{\text{З}}}{M_{\text{Л}}} = 81. \]
То есть
\[ F_{\text{З}}=81F_{\text{Л}}. \]
3. Где силы всё-таки равны.
Пусть \(x\) — расстояние от станции до Земли, тогда \(R-x\) — до Луны. Приравняем силы:
\[ \frac{G M_{\text{З}} m}{x^{2}} = \frac{G M_{\text{Л}} m}{(R-x)^{2}} \]
\[ \frac{x}{R-x}=\sqrt{\frac{M_{\text{З}}}{M_{\text{Л}}}}=\sqrt{81}=9 \]
\[ x=0{,}9R. \]
Значит, силы становятся равными только в точке, удалённой от Земли на \(0{,}9R\) (около \(3{,}46\cdot10^{5}\) км, то есть примерно за \(38\) тыс. км до Луны), а не на середине пути.
Проверка
В середине пути расстояния до Земли и Луны одинаковы, поэтому отношение сил равно отношению масс: \(81:1\). Это согласуется с формулой \(F\sim M/r^{2}\). Ответ «силы равны посередине» был бы верен только при одинаковых массах Земли и Луны, а они различаются в 81 раз.
Если нужно, разберу и № 4 про притяжение Земли к Солнцу.
Как в школе
Оформление «как в тетради»
Дано: \[ M_{\text{З}}=81\,M_{\text{Л}},\qquad R \text{ — расстояние Земля–Луна} \] Станция летит от Земли к Луне.
Найти:
- как изменяются \(F_{\text{З}}\) и \(F_{\text{Л}}\) по пути;
- сравнить силы в середине пути;
- точку, где \(F_{\text{З}}=F_{\text{Л}}\).
Решение.
По закону всемирного тяготения \[ F=G\frac{Mm}{r^{2}}. \] При удалении от Земли \(r_{\text{З}}\) растёт, поэтому \(F_{\text{З}}\) уменьшается. При приближении к Луне \(r_{\text{Л}}\) уменьшается, поэтому \(F_{\text{Л}}\) увеличивается.
В середине пути \(r_{\text{З}}=r_{\text{Л}}=\dfrac{R}{2}\). Тогда \[ \frac{F_{\text{З}}}{F_{\text{Л}}} =\frac{G M_{\text{З}} m / (R/2)^2}{G M_{\text{Л}} m / (R/2)^2} =\frac{M_{\text{З}}}{M_{\text{Л}}}=81. \] Значит, в середине пути силы не равны: притяжение к Земле в 81 раз больше.
Пусть \(x\) — расстояние от Земли до точки равенства. Тогда \[ G\frac{M_{\text{З}}m}{x^{2}}=G\frac{M_{\text{Л}}m}{(R-x)^{2}}. \] Сокращаем \(Gm\) и извлекаем корень: \[ \frac{x}{R-x}=\sqrt{81}=9, \] \[ x=9(R-x)\;\Rightarrow\;10x=9R\;\Rightarrow\;x=0{,}9R. \] До Луны остаётся \(R-0{,}9R=0{,}1R\).
Ответ: при полёте \(F_{\text{З}}\) уменьшается, \(F_{\text{Л}}\) увеличивается; в середине пути \(F_{\text{З}}=81F_{\text{Л}}\); силы равны на расстоянии \(0{,}9R\approx346\) тыс. км от Земли (около \(38\) тыс. км до Луны).
В школе достаточно записать «Дано — Найти — Решение — Ответ» и сослаться на формулу \(F=G\frac{Mm}{r^{2}}\); проверку отношения \(\frac{x}{R-x}=9\) учителя обычно принимают как основной шаг.
Вот так
Да, так и оформляют в школе: «Дано — СИ — Решение — Ответ», сначала формула, потом подстановка, в ответе единицы. Расчёты на фото я проверил — все три задачи решены верно.
Что стоит немного поправить:
В первой задаче время лучше писать с русской буквой:
\[ t=40\ \text{с} \] не латинская \(c\), а русская «с».В задаче 2 ответ получен округлением: \[ a=\frac{15-2{,}5}{60}=\frac{12{,}5}{60}=\frac{5}{24}\approx0{,}2083\ \text{м/с}^2. \] Поэтому корректнее поставить знак приближения: \[ a\approx0{,}21\ \text{м/с}^2. \]
Перевод в СИ в задаче 2 сделан правильно: \[ 9\ \text{км/ч}=2{,}5\ \text{м/с},\qquad 54\ \text{км/ч}=15\ \text{м/с},\qquad 1\ \text{мин}=60\ \text{с}. \]
Итог: оформление школьное, учитель такое принимает. Главное — в задаче 2 поставить \(\approx\), потому что \(0{,}21\) — округлённый результат.
