Вариант 1. 1. Постройте график функции y = x² − 6x + 5. Найдите с помощью графика
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1 К—2 (§ 3, 4) •1. Постройте график функции \(y=x^2-6x+5\). Найдите с помощью графика: а) значение \(y\) при \(x=0,5\); б) значения \(x\), при которых \(y=-1\); в) нули функции; промежутки, в которых \(y>0\) и в которых \(y<0\); г) промежуток, на котором функция возрастает. •2. Найдите наименьшее значение функции \(y=x^2-8x+7\). 3. Найдите область значений функции \(y=x^2-6x-13\), где \(x\in[-2;7]\). 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола \(y=\frac{1}{4}x^2\) и прямая \(y=5x-16\). Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты. 5. Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}+12\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}\).
Вариант 2 К—2 (§ 3, 4) •1. Постройте график функции \(y=x^2-8x+13\). Найдите с помощью графика: а) значение \(y\) при \(x=1,5\); б) значения \(x\), при которых \(y=2\); в) нули функции; промежутки, в которых \(y>0\) и в которых \(y<0\); г) промежуток, в котором функция убывает. •2. Найдите наибольшее значение функции \(y=-x^2+6x-4\). 3. Найдите область значений функции \(y=x^2-4x-7\), где \(x\in[-1;5]\). 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола \(y=\frac{1}{5}x^2\) и прямая \(y=20-3x\). Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты. 5. Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{-2\frac{10}{27}}+8\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}\).
На фото два варианта, поэтому я разобрал оба — выбери свой.
Краткие ответы
Вариант 1
- а) \(2{,}25\); б) \(x=3\pm\sqrt3\);
в) нули: \(x=1\), \(x=5\); \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(1;5)\);
г) функция возрастает на \([3;+\infty)\). - Наименьшее значение \(-9\) при \(x=4\).
- Область значений: \([-22;3]\).
- Да, пересекаются в точках \((4;4)\) и \((16;64)\).
- \(\dfrac{37}{2}=18{,}5\).
Вариант 2
- а) \(3{,}25\); б) \(x=4\pm\sqrt5\);
в) нули: \(x=4-\sqrt3\), \(x=4+\sqrt3\); \(y>0\) при \(x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3)\);
г) функция убывает на \((-\infty;4]\). - Наибольшее значение \(5\) при \(x=3\).
- Область значений: \([-11;-2]\).
- Да, пересекаются в точках \((5;5)\) и \((-20;80)\).
- \(\dfrac{32}{3}=10\dfrac23\).
Как это получается
Вариант 1
№ 1.
\[ y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4. \]
Вершина параболы: \((3;-4)\), ветви направлены вверх. Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\).
Для построения можно взять точки:
\[ (0;5),\ (1;0),\ (2;-3),\ (3;-4),\ (4;-3),\ (5;0),\ (6;5). \]
а) при \(x=0{,}5\):
\[ y=0{,}25-3+5=2{,}25. \]
б) решаем \(y=-1\):
\[ x^2-6x+5=-1,\qquad x^2-6x+6=0, \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt3. \]
в) график выше оси \(Ox\) вне промежутка между корнями и ниже — между корнями. Поэтому:
\[ y>0 \text{ при } x<1 \text{ или } x>5, \]
\[ y<0 \text{ при } 1<x<5. \]
г) после вершины \(x=3\) парабола идёт вверх, значит функция возрастает при \(x\ge3\).
№ 2.
\[ y=x^2-8x+7=(x-4)^2-9. \]
Квадрат не может быть меньше нуля, поэтому
\[ y\ge -9. \]
Наименьшее значение \(-9\) достигается при \(x=4\).
№ 3.
\[ y=x^2-6x-13=(x-3)^2-22. \]
Вершина имеет \(x=3\), эта точка входит в отрезок \([-2;7]\), поэтому минимум равен \(-22\).
Проверяем концы:
\[ f(-2)=4+12-13=3, \]
\[ f(7)=49-42-13=-6. \]
Значит, наибольшее значение \(3\), а область значений:
\[ [-22;3]. \]
№ 4.
Приравниваем функции:
\[ \frac{x^2}{4}=5x-16. \]
\[ x^2=20x-64, \]
\[ x^2-20x+64=0. \]
Дискриминант:
\[ D=400-256=144. \]
Корни:
\[ x_1=16,\qquad x_2=4. \]
Находим \(y\) по уравнению прямой:
\[ x=4:\quad y=5\cdot4-16=4, \]
\[ x=16:\quad y=5\cdot16-16=64. \]
Точки пересечения: \((4;4)\) и \((16;64)\).
№ 5.
\[ \sqrt[3]{-3\frac38}+12\sqrt[4]{7\frac{58}{81}} \]
Переводим смешанные числа в неправильные дроби:
\[ -3\frac38=-\frac{27}{8}=\left(-\frac32\right)^3, \]
\[ 7\frac{58}{81}=\frac{625}{81}=\left(\frac53\right)^4. \]
Поэтому:
\[ \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}+12\sqrt[4]{\frac{625}{81}} =-\frac32+12\cdot\frac53 \]
\[ =-\frac32+20=\frac{37}{2}=18{,}5. \]
Вариант 2
№ 1.
\[ y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3. \]
Вершина: \((4;-3)\), ветви вверх. Нули:
\[ (x-4)^2-3=0, \]
\[ x=4\pm\sqrt3. \]
Для построения удобны точки:
\[ (0;13),\ (2;1),\ (3;-2),\ (4;-3),\ (5;-2),\ (6;1). \]
а) при \(x=1{,}5\):
\[ y=2{,}25-12+13=3{,}25. \]
б) при \(y=2\):
\[ x^2-8x+13=2, \]
\[ x^2-8x+11=0, \]
\[ x=4\pm\sqrt5. \]
в) нули: \(4-\sqrt3\) и \(4+\sqrt3\). Парабола выше оси \(Ox\) снаружи этого промежутка:
\[ y>0 \text{ при } x<4-\sqrt3 \text{ или } x>4+\sqrt3, \]
\[ y<0 \text{ при } 4-\sqrt3<x<4+\sqrt3. \]
г) до вершины \(x=4\) функция убывает:
\[ x\le4. \]
№ 2.
\[ y=-x^2+6x-4=-(x-3)^2+5. \]
Так как \(-(x-3)^2\le0\), то
\[ y\le5. \]
Наибольшее значение \(5\) достигается при \(x=3\).
№ 3.
\[ y=x^2-4x-7=(x-2)^2-11. \]
Вершина \(x=2\) входит в \([-1;5]\), поэтому минимум равен \(-11\).
На концах:
\[ f(-1)=1+4-7=-2, \]
\[ f(5)=25-20-7=-2. \]
Наибольшее значение \(-2\), значит область значений:
\[ [-11;-2]. \]
№ 4.
\[ \frac{x^2}{5}=20-3x. \]
\[ x^2=100-15x, \]
\[ x^2+15x-100=0. \]
\[ D=225+400=625. \]
Корни:
\[ x_1=5,\qquad x_2=-20. \]
Находим \(y\):
\[ x=5:\quad y=20-15=5, \]
\[ x=-20:\quad y=20+60=80. \]
Точки пересечения: \((5;5)\) и \((-20;80)\).
№ 5.
\[ \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}}+8\sqrt[4]{5\frac1{16}} \]
\[ -2\frac{10}{27}=-\frac{64}{27}=\left(-\frac43\right)^3, \]
\[ 5\frac1{16}=\frac{81}{16}=\left(\frac32\right)^4. \]
Тогда:
\[ \sqrt[3]{-\frac{64}{27}}+8\sqrt[4]{\frac{81}{16}} =-\frac43+8\cdot\frac32 \]
\[ =-\frac43+12=\frac{32}{3}=10\frac23. \]
Главный приём: для квадратичной функции выделяй полный квадрат — сразу видно вершину. На отрезке сравнивай значение в вершине и на концах, а для пересечения параболы с прямой просто приравнивай их формулы.
