4 номрр
Ответ: да, пересекаются — в двух точках: \((-6;\,18)\) и \((4;\,8)\).
Главная идея. Общая точка двух графиков — это такая пара \((x;\,y)\), которая подходит сразу в оба уравнения. Значит, строить ничего не нужно: достаточно решить систему, а точнее — приравнять правые части.
Шаги решения
Приравниваем: \[ \frac{1}{2}x^{2}=12-x \]
Умножаем обе части на 2, чтобы убрать дробь, и переносим всё влево: \[ x^{2}=24-2x \quad\Rightarrow\quad x^{2}+2x-24=0 \]
Считаем дискриминант: \[ D=2^{2}-4\cdot 1\cdot(-24)=4+96=100,\qquad \sqrt{D}=10 \]
Корни: \[ x_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2};\qquad x_{1}=-6,\quad x_{2}=4 \]
Вторую координату удобнее брать из прямой \(y=12-x\) — там счёт проще: \[ y_{1}=12-(-6)=18,\qquad y_{2}=12-4=8 \]
Проверка (подставляем в уравнение параболы): \[ \frac{1}{2}\cdot(-6)^{2}=18,\qquad \frac{1}{2}\cdot 4^{2}=8 \] Оба раза значения совпали, значит, точки найдены верно.
Принцип, который стоит запомнить. Число точек пересечения параболы с прямой — это число корней получившегося квадратного уравнения:
- \(D>0\) — две точки пересечения (наш случай);
- \(D=0\) — одна общая точка (прямая касается параболы);
- \(D<0\) — не пересекаются.
Так можно мгновенно отвечать на вопрос «пересекаются ли», даже не находя самих точек.
Небольшое уточнение: на фото в этом варианте два задания с номером 4 — второе про функцию \(g\) по рисунку 20. Я разобрал то, что идёт по порядку после номера 3; если нужен график, скажи.
Обсуждение
4 сообщения4 последний
Понял: нужно последнее задание под номером 4 — то, где функция \(g\) и рисунок 20. Но сам рисунок 20 и условие к нему в сообщении не видны (похоже, обрезаны или не загрузились), поэтому угадывать не буду.
Пришли, пожалуйста, этот номер крупным планом — так, чтобы был виден и рисунок 20, и весь текст задания. Либо просто напиши условие текстом: как задана функция \(g\) и что именно требуется сделать (построить график, найти значения, решить уравнение и т. п.).
Краткий ответ (по рис. 20):
- нули функции: \(x=-2,\; x=1,\; x=5\);
- возрастает на \([-3;\,0]\) и на \([3;\,5]\);
- убывает на \([0;\,3]\);
- область значений: \(E(g)=[-2;\,2]\).
Как это читается по графику
- Нули — точки, где график пересекает ось \(Ox\) (там \(g(x)=0\)). Слева график переходит с отрицательных значений на положительные при \(x=-2\); вблизи \(x=1\) снова уходит под ось; правый конец кривой лежит на оси при \(x=5\) (это и есть граница области определения).
- Возрастание и убывание — смотрим, куда идёт линия слева направо. Подъём от \((-3;\,-2)\) до вершины при \(x=0\) — возрастание; спуск от вершины до нижней точки при \(x=3\) — убывание; снова подъём от \(x=3\) до \(x=5\).
- Область значений — все \(y\), которые «пробегает» график. Самая низкая точка: \(y=-2\) (при \(x=-3\) и \(x=3\)), самая высокая: \(y=2\) (при \(x=0\)). Значит, \(y\) принимает все значения от \(-2\) до \(2\).
Небольшая проверка на согласованность: нули должны лежать внутри области определения \([-3;\,5]\) — так и есть; сама функция на концах отрезка равна \(-2\) и \(0\), а это не выходит за границы \([-2;\,2]\). Всё сходится.
Принцип на будущее: нули ищут по пересечениям с осью \(Ox\), монотонность — по направлению линии, область значений — по самой нижней и самой верхней точке графика.
