№1 На рисунке прямые CX, BY и AZ параллельны друг другу. Найдите отношение XY:YZ, если а) AB = BC; б) AB = 3BC; в) AB:BC = 7 : 4; г) AB = 36,5, а BC = 21,9.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
№1 На рисунке прямые CX, BY и AZ параллельны друг другу. Найдите отношение XY:YZ, если а) AB = BC; б) AB = 3BC; в) AB:BC = 7 : 4; г) AB = 36,5, а BC = 21,9. [Рисунок: три параллельные прямые; на верхней отмечены C и X, на средней — B и Y, на нижней — A и Z; через точки A, B, C проходит одна секущая, через Z, Y, X — другая.]
№2 \(AC = CB\) и \(A_1C_1 = C_1B_1\). Правда ли, что \(AA_1 \parallel CC_1 \parallel BB_1\)? [Рисунок: из общей точки выходят два луча; на верхнем последовательно отмечены A, C, B, на нижнем — A₁, C₁, B₁; проведены отрезки AA₁, CC₁, BB₁.]
№3 Средняя линия трапеции равна 36 см, а одно основание больше другого в 3 раза. Найдите основания трапеции.
На фото три задачи — решил все.
Краткие ответы
- №1: а) \(1:1\); б) \(1:3\); в) \(4:7\); г) \(3:5\).
- №2: нет, не обязательно.
- №3: \(18\) см и \(54\) см.
№1
По теореме Фалеса три параллельные прямые \(CX\), \(BY\), \(AZ\) отсекают на двух секущих пропорциональные отрезки. Верхнему участку \(BC\) слева соответствует \(XY\) справа, нижнему \(AB\) — \(YZ\):
\[ \frac{BC}{AB}=\frac{XY}{YZ} \]
Поэтому
\[ XY:YZ=BC:AB. \]
Подставляем данные:
- а) \(AB=BC\), значит \(BC:AB=1:1\);
- б) \(AB=3BC\), значит \(BC:AB=1:3\);
- в) \(AB:BC=7:4\), значит \(BC:AB=4:7\);
- г) \(BC:AB=21{,}9:36{,}5=219:365=3:5\).
№2
Равенства \(AC=CB\) и \(A_1C_1=C_1B_1\) означают только, что \(C\) — середина \(AB\), а \(C_1\) — середина \(A_1B_1\). Из этого ещё не следует, что прямые \(AA_1\), \(CC_1\), \(BB_1\) параллельны.
Контрпример: пусть
\[ A=(1,0),\ C=(2,0),\ B=(3,0), \] \[ A_1=(0,2),\ C_1=(0,3),\ B_1=(0,4). \]
Тогда \(AC=CB=1\) и \(A_1C_1=C_1B_1=1\), но прямые \(AA_1\), \(CC_1\), \(BB_1\) имеют разные наклоны:
\[ -2,\quad -\frac32,\quad -\frac43. \]
Значит, они не параллельны. Ответ: нет, не обязательно.
№3
Пусть меньшее основание равно \(x\), тогда большее равно \(3x\). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
\[ \frac{x+3x}{2}=36 \]
\[ 2x=36 \]
\[ x=18. \]
Тогда большее основание:
\[ 3x=54. \]
Ответ: \(18\) см и \(54\) см.
Проверка:
\[ \frac{18+54}{2}=36. \]
