На числовой прямой даны два отрезка: P = [15; 40] и Q = [28; 63]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, для которого логическое выражение

Краткий ответ: \(12\).

Пусть \(B=P\cap Q\). Тогда

\[ B=[15;40]\cap[28;63]=[28;40]. \]

Используем равносильность

\[ \neg(C\to D)\equiv C\land\neg D. \]

Поэтому исходное выражение равно

\[ (x\in P\land x\in Q)\land x\notin A. \]

Оно должно быть ложно при всех \(x\). Значит, не должно существовать такого \(x\), который лежит в \(P\cap Q\), но не лежит в \(A\). Иными словами, весь отрезок \([28;40]\) обязан содержаться в \(A\):

\[ [28;40]\subseteq A. \]

Поэтому длина \(A\) не может быть меньше длины \([28;40]\):

\[ 40-28=12. \]

Минимум достигается при \(A=[28;40]\). Для точек из \([28;40]\) условие \(x\in A\) истинно, а для остальных ложно хотя бы одно из условий \(x\in P\), \(x\in Q\), поэтому всё выражение всюду ложно.

Ответ: 12.