На числовой прямой даны два отрезка: P = [17; 46] и Q = [30; 75]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что логическое выражение
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
На числовой прямой даны два отрезка: \(P = [17; 46]\) и \(Q = [30; 75]\). Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка \(A\), что логическое выражение \(((x \in P) \equiv (x \in Q)) \lor (x \in A)\) истинно (т.е. принимает значение 1) при любом значении переменной \(x\).
В ответе запишите найденную длину.
Краткий ответ: 58.
Обозначим \[ F(x)=(x\in P)\leftrightarrow(x\in Q). \] Эквивалентность истинна, когда \(x\) принадлежит либо обоим отрезкам, либо ни одному из них. Ложна она там, где \(x\) попадает ровно в один отрезок: \[ P\triangle Q=[17;30)\cup(46;75]. \]
Чтобы выражение \[ F(x)\lor(x\in A) \] было истинно при любом \(x\), на каждом «плохом» промежутке должно выполняться \(x\in A\). Значит, один отрезок \(A\) должен покрыть оба промежутка — от \(17\) до \(75\). Минимальный такой отрезок: \[ A=[17;75]. \] Его длина: \[ 75-17=58. \]
Проверка: в точках \(30\) и \(46\) оба исходных условия совпадают, поэтому эквивалентность там уже истинна; а на краях \(17\) и \(75\) выручает отрезок \(A\).
