реши 10.6 и 10.8
Сверь числа и знаки с фото.
10.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=x^{-6}\) на промежутке:
- \(\left[\frac{1}{2};1\right]\);
- \(\left[-1;-\frac{1}{2}\right]\);
- \([1;+\infty)\);
- \([-1;0)\).
10.8. Определите графически количество решений системы уравнений:
- \(\begin{cases} y=x^{-6},\\ y=4-x^2; \end{cases}\)
- \(\begin{cases} y=x^{-3},\\ y=x^3+3. \end{cases}\)
Краткий ответ
10.6.
- наибольшее \(64\), наименьшее \(1\);
- наибольшее \(64\), наименьшее \(1\);
- наибольшее \(1\), наименьшего значения нет;
- наименьшее \(1\), наибольшего значения нет.
10.8.
- \(4\) решения;
- \(2\) решения.
10.6. Разбор
\[ f(x)=x^{-6}=\frac{1}{x^6},\qquad D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Функция чётная и положительная. Её производная:
\[ f'(x)=-6x^{-7}=-\frac{6}{x^7}. \]
- при \(x>0\) производная отрицательна — функция убывает;
- при \(x<0\) производная положительна — функция возрастает.
Поэтому наибольшее и наименьшее значения ищем на концах промежутка, учитывая монотонность.
1) На \(\left[\frac12;1\right]\) функция убывает, значит:
\[ f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-6}=2^6=64, \qquad f(1)=1. \]
Наибольшее значение \(64\), наименьшее \(1\).
2) На \(\left[-1;-\frac12\right]\) функция возрастает:
\[ f(-1)=1,\qquad f\left(-\frac12\right)=64. \]
Наименьшее значение \(1\), наибольшее \(64\).
3) На \([1;+\infty)\) функция убывает, поэтому наибольшее значение:
\[ f(1)=1. \]
Наименьшего значения нет: \(f(x)\to0\) при \(x\to+\infty\), но \(0\) не достигается.
4) На \([-1;0)\) функция возрастает, поэтому наименьшее значение:
\[ f(-1)=1. \]
Наибольшего значения нет: при \(x\to0^-\) функция неограниченно возрастает.
10.8. Разбор
Количество решений системы — это число точек пересечения графиков двух уравнений.
1)
\[ \begin{cases} y=x^{-6},\\ y=4-x^2. \end{cases} \]
График \(y=x^{-6}\) — чётная гипербола с ветвями в первой и второй четвертях. График \(y=4-x^2\) — парабола с вершиной \((0;4)\), ветвями вниз и нулями \(x=\pm2\).
При \(x>0\):
- при \(x\to0^+\) гипербола выше параболы;
- в точке \(x=1\): \(x^{-6}=1\), а \(4-x^2=3\), то есть гипербола ниже;
- в точке \(x=2\): \(x^{-6}=\frac1{64}>0\), а \(4-x^2=0\), то есть гипербола снова выше.
Значит, на \((0;2)\) есть два пересечения. Из-за чётности функции \(y=x^{-6}\) такие же два пересечения есть слева, на \((-2;0)\). При \(|x|>2\) парабола отрицательна, а гипербола положительна — пересечений нет.
Ответ: 4 решения.
Проверка: уравнение \(x^{-6}=4-x^2\) после замены \(u=x^2>0\) даёт \(u^3(4-u)=1\). Это уравнение имеет два положительных корня \(u\), каждому соответствуют \(x=\pm\sqrt u\), то есть действительно \(4\) решения.
2)
\[ \begin{cases} y=x^{-3},\\ y=x^3+3. \end{cases} \]
График \(y=x^{-3}\) — нечётная гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях, она убывает на каждой ветви. График \(y=x^3+3\) возрастает.
- При \(x>0\): гипербола убывает от \(+\infty\) к \(0\), кубическая парабола возрастает от \(3\) к \(+\infty\). Они пересекаются ровно один раз.
- При \(x<0\): гипербола отрицательна, кубическая парабола возрастает от \(-\infty\) к \(3\). Здесь тоже ровно одно пересечение.
Ответ: 2 решения.
Проверка:
\[
x^{-3}=x^3+3 \iff 1=x^6+3x^3.
\]
Обозначим \(t=x^3\). Тогда:
\[
t^2+3t-1=0,\qquad t=\frac{-3\pm\sqrt{13}}2.
\]
Получаются два действительных значения \(t\), каждому соответствует ровно один \(x=\sqrt[3]{t}\). Значит, решений два.
Обсуждение
8 сообщенийповтори
Повторить пока нечего: условия задач 10.6 и 10.8 в чате нет — я его не вижу, поэтому решать нечего.
Пришлите фото страницы или текст заданий 10.6 и 10.8 (и укажите предмет и класс, если не видно по фото), и я сразу запишу решение по шагам.
Продолжаю по вашим фото: это задачи 10.6 и 10.8.
10.6. \(f(x)=x^{-6}=\dfrac{1}{x^6}\)
Ключевое свойство: функция чётная, а \(1/x^6\) тем больше, чем меньше \(|x|\); на \((0;+\infty)\) она убывает, на \((-\infty;0)\) возрастает.
\(\left[\frac12;1\right]\) — убывает, значит: \[ f_{\max}=f\!\left(\tfrac12\right)=2^6=64,\qquad f_{\min}=f(1)=1. \]
\(\left[-1;-\frac12\right]\) — возрастает, значит: \[ f_{\max}=f\!\left(-\tfrac12\right)=64,\qquad f_{\min}=f(-1)=1. \]
\([1;+\infty)\) — убывает: \(f_{\max}=f(1)=1\), а наименьшего значения нет (при \(x\to+\infty\) значения стремятся к 0, но 0 не достигается).
\([-1;0)\) — возрастает: \(f_{\min}=f(-1)=1\), а наибольшего нет (при \(x\to0^-\) значения уходят в \(+\infty\)).
10.8. Графически — количество решений
1) \(\begin{cases} y=x^{-6},\\ y=4-x^2.\end{cases}\)
Сравниваем значения в «удобных» точках (обе функции чётные, поэтому решений вдвое больше, чем при \(x>0\)):
| \(x\) | \(x^{-6}\) | \(4-x^2\) |
|---|---|---|
| \(0{,}5\) | \(64\) | \(3{,}75\) |
| \(1\) | \(1\) | \(3\) |
| \(2\) | \(\frac{1}{64}\) | \(0\) |
При \(x\to0^+\) гипербола выше параболы, при \(x=1\) — ниже, при \(x=2\) — снова выше. Значит, на \((0;+\infty)\) две точки пересечения (примерно \(x\approx0{,}82\) и \(x\approx2\)), а из-за чётности — ещё две слева.
Ответ: 4 решения.
2) \(\begin{cases} y=x^{-3},\\ y=x^3+3.\end{cases}\)
| \(x\) | \(x^{-3}\) | \(x^3+3\) |
|---|---|---|
| \(0{,}5\) | \(8\) | \(3{,}125\) |
| \(1\) | \(1\) | \(4\) |
| \(-1\) | \(-1\) | \(2\) |
| \(-2\) | \(-0{,}125\) | \(-5\) |
На \((0;+\infty)\): при \(x\to0^+\) гипербола выше, при \(x=1\) — ниже, значит одно пересечение (около \(x\approx0{,}66\)). На \((-\infty;0)\): при \(x\to0^-\) гипербола ниже, при \(x\to-\infty\) она выше кубической параболы — тоже одно пересечение (около \(x\approx-1{,}45\)).
Ответ: 2 решения.
Принцип для похожих заданий: найдите 2–3 точки, где кривые «меняются местами» (кто выше), и посчитайте, сколько раз они пересекаются; чётность/нечётность функций позволяет удвоить найденные точки симметрично.
напиши 1 нормально
Ниже — чистое оформление первых пунктов (если нужен только один из них, скажи: 10.6(1) или 10.8(1)).
10.6, пункт 1
Задание. Найти наибольшее и наименьшее значения \(f(x)=x^{-6}\) на \(\left[\frac12;1\right]\).
Решение. Область определения содержит весь отрезок: \(x\ne0\).
\[ f'(x)=-6x^{-7}=-\frac{6}{x^{7}}<0 \quad \text{при } x>0. \]
Значит, на \(\left[\frac12;1\right]\) функция убывает, поэтому наибольшее значение — в левом конце, наименьшее — в правом:
\[ f\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-6}=2^{6}=64, \qquad f(1)=1. \]
Ответ: \(\max\limits_{\left[\frac12;1\right]} f = 64\), \(\min\limits_{\left[\frac12;1\right]} f = 1\).
10.8, пункт 1
Задание. Выяснить, сколько решений имеет система \[ \begin{cases} y=x^{-6},\\ y=4-x^{2}. \end{cases} \]
Решение. Приравняем правые части (при \(x\ne0\)):
\[ x^{-6}=4-x^{2} \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{x^{6}}=4-x^{2} \;\Longleftrightarrow\; x^{6}\left(4-x^{2}\right)=1. \]
Пусть \(u=x^{2}>0\). Тогда
\[ u^{3}(4-u)=1 \;\Longleftrightarrow\; u^{4}-4u^{3}+1=0. \]
Обозначим \(g(u)=u^{4}-4u^{3}+1\), \(u>0\). Тогда
\[ g'(u)=4u^{3}-12u^{2}=4u^{2}(u-3), \]
поэтому \(g\) убывает на \((0;3)\) и возрастает на \((3;+\infty)\). При этом
\[ g(0)=1>0,\qquad g(1)=-2<0,\qquad g(3)=-26<0,\qquad g(4)=1>0. \]
Следовательно, на \((0;3)\) ровно один корень \(u_{1}\), а на \((3;+\infty)\) ровно один корень \(u_{2}\). Оба положительны, и каждому из них соответствуют два значения \(x=\pm\sqrt{u}\):
\[ x_{1,2}=\pm\sqrt{u_{1}},\qquad x_{3,4}=\pm\sqrt{u_{2}}. \]
Ответ: система имеет \(4\) решения.
реши 10.6 нормально
10.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)=x^{-6}\) на данных промежутках
\[ f(x)=x^{-6}=\frac{1}{x^6},\qquad x\ne0. \]
Найдём производную:
\[ f'(x)=-6x^{-7}=-\frac{6}{x^7}. \]
Так как \(x^6>0\) при \(x\ne0\), функция принимает только положительные значения. Кроме того:
- при \(x>0\) производная отрицательна, значит, функция убывает;
- при \(x<0\) производная положительна, значит, функция возрастает.
Поэтому наибольшее и наименьшее значения на каждом промежутке достигаются на его концах (если конец входит в промежуток).
1) Промежуток \(\left[\dfrac12;1\right]\)
На этом промежутке \(x>0\), функция убывает. Значит, наибольшее значение — в левом конце, наименьшее — в правом:
\[ f\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-6}=2^6=64, \]
\[ f(1)=1^{-6}=1. \]
Так как функция убывает, промежуточные значения меньше \(64\) и больше \(1\).
Ответ: наибольшее значение \(64\), наименьшее значение \(1\).
2) Промежуток \(\left[-1;-\dfrac12\right]\)
На этом промежутке \(x<0\), функция возрастает. Поэтому наименьшее значение — в левом конце, наибольшее — в правом:
\[ f(-1)=(-1)^{-6}=1, \]
\[ f\!\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)^{-6} =2^6=64. \]
Ответ: наибольшее значение \(64\), наименьшее значение \(1\).
3) Промежуток \([1;+\infty)\)
При \(x>0\) функция убывает, поэтому
\[ f_{\max}=f(1)=1. \]
При \(x\to+\infty\)
\[ f(x)=\frac{1}{x^6}\to0, \]
но значение \(0\) не достигается ни при каком конечном \(x\), так как \(\dfrac{1}{x^6}>0\).
Значит, наименьшего значения на промежутке нет.
Ответ: наибольшее значение \(1\); наименьшего значения нет.
4) Промежуток \([-1;0)\)
При \(x<0\) функция возрастает, поэтому
\[ f_{\min}=f(-1)=(-1)^{-6}=1. \]
При \(x\to0^-\)
\[ f(x)=\frac{1}{x^6}\to+\infty. \]
Поэтому наибольшего значения на промежутке нет: значения неограниченно возрастают при приближении к нулю слева.
Ответ: наименьшее значение \(1\); наибольшего значения нет.
Итоговая таблица
| № | Промежуток | Наибольшее значение | Наименьшее значение |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\left[\frac12;1\right]\) | \(64\) | \(1\) |
| 2 | \(\left[-1;-\frac12\right]\) | \(64\) | \(1\) |
| 3 | \([1;+\infty)\) | \(1\) | нет |
| 4 | \([-1;0)\) | нет | \(1\) |
