Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A логическое выражение

Кратко: наибольшее значение \(A=90\).

Почему так

Обозначим через \(D_m\) утверждение «\(x\) делится на \(m\)». Тогда выражение имеет вид \[ D_{18}\to(D_{30}\to D_A). \]

Импликация \(P\to Q\) ложна только тогда, когда \(P\) истинно, а \(Q\) ложно. Поэтому всё выражение могло бы стать ложным только в случае: \(x\) делится на 18, делится на 30, но не делится на \(A\). По условию такого быть не должно.

Значит, любое \(x\), кратное и 18, и 30, должно делиться на \(A\). Такие \(x\) — это в точности числа, кратные наименьшему общему кратному: \[ 18=2\cdot3^2,\qquad 30=2\cdot3\cdot5, \] поэтому НОК равен \(2\cdot3^2\cdot5=90\).

Возьмём \(x=90\). Оно кратно и 18, и 30, значит, должно делиться на \(A\). Следовательно, \(A\) — делитель 90. Наибольший натуральный делитель числа 90 равен 90.

Проверим \(A=90\): если \(x\) кратно и 18, и 30, то \(x\) кратно 90, поэтому делится на \(A\). Во всех остальных случаях выражение истинно из-за ложной посылки. Значит, \(A=90\) подходит и является наибольшим.

\[ \boxed{A=90} \]