Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа A логическое выражение

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n, m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $A$ логическое выражение
$$\mathrm{ДЕЛ}(x, A) \to (\mathrm{ДЕЛ}(x, 15) \to \mathrm{ДЕЛ}(x, 10))$$
тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной $x$)?

В ответе запишите найденное число $A$.

Answer

Краткий ответ: $A=2$.

Почему так:

1. Импликация $p\to q$ ложна только тогда, когда $p$ истинно, а $q$ ложно. Значит, всё выражение может оказаться ложным только при условии:
$$
\mathrm{ДЕЛ}(x,A)=1,\qquad \mathrm{ДЕЛ}(x,15)=1,\qquad \mathrm{ДЕЛ}(x,10)=0.
$$
То есть $x$ делится на $A$ и на $15$, но не делится на $10$.

2. Поэтому среди общих кратных чисел $A$ и $15$ не должно быть чисел, не кратных $10$. Пусть $L$ — наименьшее общее кратное $A$ и $15$. Нужно, чтобы $10\mid L$:

если $10\mid L$, то любое общее кратное $A$ и $15$ делится на $10$;

если $10\nmid L$, можно взять $x=L$, и получится контрпример.

3. Проверяем:

$A=1$: $L=15$, а $15$ не делится на $10$. Не подходит; например, при $x=15$ выражение ложно.

$A=2$: $L=30$, а $30$ делится на $10$. Подходит.

Так как $1$ не подходит, а $2$ подходит, наименьшее значение:

$$
\boxed{A=2}
$$