ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так: • найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин

Решаю верхнюю задачу-исследование — про диагонали.

Краткий ответ:

• у семиугольника — \(14\) диагоналей;
• у десятиугольника — \(35\);
• у стоугольника — \(4850\);
• \(9\) диагоналей у шестиугольника.

Почему работает формула

Пусть у многоугольника \(n\) вершин. Из одной вершины нельзя провести диагональ к самой этой вершине и к двум соседним вершинам — с ними соединены стороны. Значит, из каждой вершины выходит

\[ n-3 \]

диагоналей.

Если умножить это число на \(n\), то каждая диагональ будет посчитана дважды: один раз от одного конца, второй раз от другого. Поэтому результат делят на \(2\):

\[ D=\frac{n(n-3)}2. \]

Вычисления

\[ D_7=\frac{7\cdot(7-3)}2=\frac{7\cdot4}{2}=14 \]

\[ D_{10}=\frac{10\cdot7}{2}=35 \]

\[ D_{100}=\frac{100\cdot97}{2}=50\cdot97=4850 \]

Теперь найдём многоугольник с \(9\) диагоналями:

\[ \frac{n(n-3)}2=9 \]

\[ n(n-3)=18 \]

\[ n^2-3n-18=0 \]

\[ (n-6)(n+3)=0 \]

Подходит только \(n=6\), то есть это шестиугольник.

Проверка: у шестиугольника из каждой вершины выходит \(6-3=3\) диагонали, всего \(6\cdot3=18\) «концов», а диагоналей \(18:2=9\). Всё сходится.