Элементами множеств A, P, Q являются натуральные числа, причём P = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}, Q = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}.

Кратко: 72.

Импликация \(U\to V\) ложна только тогда, когда \(U\) истинно, а \(V\) ложно. Здесь \[ U=(x\in P)\land(x\in Q),\qquad V=(x\in A). \] По условию выражение истинно при любом \(x\). Значит, не может быть такого \(x\), который входит и в \(P\), и в \(Q\), но не входит в \(A\). Иными словами, все общие элементы \(P\) и \(Q\) обязательно должны быть в \(A\).

Находим пересечение: \[ P\cap Q=\{12,24,36\}. \] Поэтому минимально возможное множество: \[ A=\{12,24,36\}. \] Все остальные числа можно не включать: для них либо \(x\notin P\), либо \(x\notin Q\), поэтому условие всё равно выполнено. Любое добавленное число только увеличит сумму.

Сумма: \[ 12+24+36=72. \]

Проверка: если убрать, например, \(12\), то при \(x=12\) обе части \(x\in P\) и \(x\in Q\) истинны, а \(x\in A\) ложно — импликация станет ложной. Значит, \(12\) обязательно входит в \(A\).

Ответ: 72.