Вариант 2. 1 В треугольнике ABC угол C равен 142°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 2
- В треугольнике ABC угол C равен 142°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: треугольник ABC; вершина B вверху, A слева внизу, C справа внизу.]
- В треугольнике два угла равны 31° и 94°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: треугольник без обозначений.]
- Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 43°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: прямоугольный треугольник с отметкой прямого угла.]
- В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 73°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: треугольник ABC; B вверху, A и C на основании, H на AC; BH — высота; в точке H отмечен прямой угол.]
- В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 106°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: равнобедренный треугольник ABC; B вверху, A и C внизу; на сторонах AB и BC по одной отметке.]
- В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 62°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах. [Рисунок: треугольник ABC; B вверху, A слева внизу, C справа внизу; точка D на BC; проведён отрезок AD.]
- На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета. [Рисунок: клетчатое поле 8 клеток в ширину и 6 клеток в высоту; прямоугольный треугольник с вершинами в левом верхнем, левом нижнем и правом нижнем узлах.]
- На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены три точки: A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. [Рисунок: клетчатое поле 8 × 8; точка B в левом верхнем узле, C — в правом верхнем узле; A — на 5 клеток вправо и 7 клеток вниз от B.]
- В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BM — медиана, BM = 12. Найдите AM. [Рисунок: треугольник ABC; B вверху, A и C внизу; M на AC; проведена BM; на отрезках AM и MC по одной отметке.]
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(38^\circ\) |
| 2 | \(55^\circ\) |
| 3 | \(47^\circ\) |
| 4 | \(17^\circ\) |
| 5 | \(37^\circ\) |
| 6 | \(31^\circ\) |
| 7 | 8 клеток |
| 8 | \(5\sqrt{2}\) клеток |
| 9 | 8 |
Как это получить
Внешний и внутренний углы при одной вершине в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-142^\circ=38^\circ. \]
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ 180^\circ-31^\circ-94^\circ=55^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают \(90^\circ\): \[ 90^\circ-43^\circ=47^\circ. \]
Высота \(BH\) образует прямой угол с \(AC\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[ \angle ABH=180^\circ-90^\circ-73^\circ=17^\circ. \]
Так как \(AB=BC\), треугольник равнобедренный с основанием \(AC\). Углы при основании равны: \[ \angle BCA=\frac{180^\circ-106^\circ}{2}=37^\circ. \]
Биссектриса делит угол пополам: \[ \angle BAD=\frac{62^\circ}{2}=31^\circ. \]
По клеткам катеты треугольника равны 6 и 8 клеткам. Больший катет — 8 клеток.
По рисунку можно взять координаты: \[ B(0;0),\quad C(8;0),\quad A(5;7). \] Середина \(M\) отрезка \(BC\) имеет координаты \((4;0)\). Тогда \[ AM=\sqrt{(5-4)^2+(7-0)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}. \]
\(BM\) — медиана, значит \(M\) — середина \(AC\): \[ AM=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8. \] Длина \(BM=12\) для нахождения \(AM\) не нужна.
Проверка: \(142+38=180\), \(31+94+55=180\), \(43+47=90\), \(106+37+37=180\), \(1^2+7^2=50\).
