1013 (а, б) с подробным объяснением и алгоритмом решения

Краткий ответ

а) \(\vec v\{21;-21\}\);

б) \(\vec v\{13;24\}\).

Правило

Координаты вектора записываются парой чисел: \(\vec a\{x_a;y_a\}\). Векторы можно умножать на число и складывать покоординатно:

\[ k\vec a=\{kx_a;ky_a\},\qquad \vec a\pm\vec b=\{x_a\pm x_b;\;y_a\pm y_b\}. \]

То есть при умножении на число умножаем каждую координату, а при сложении или вычитании складываем или вычитаем первые координаты и отдельно вторые.

Алгоритм

1. Выписать координаты всех векторов.
2. Умножить каждую координату на коэффициент перед вектором.
3. Сложить или вычесть соответствующие координаты.
4. Записать результат в фигурных скобках.
5. Проверить подстановкой исходных чисел.

Пункт а)

\[ \vec v=3\vec a-3\vec b=3(\vec a-\vec b). \]

Сначала найдём \(\vec a-\vec b\):

\[ \vec a-\vec b=\{2-(-5);\;-5-2\}=\{7;-7\}. \]

Теперь умножим на \(3\):

\[ \vec v=3\{7;-7\}=\{21;-21\}. \]

Ответ: \(\vec v\{21;-21\}\).

Пункт б)

Отдельно умножаем каждый вектор:

\[ 2\vec a=2\{4;1\}=\{8;2\}, \]

\[ -3\vec b=-3\{1;2\}=\{-3;-6\}, \]

\[ 4\vec c=4\{2;7\}=\{8;28\}. \]

Складываем первые координаты и отдельно вторые:

\[ \vec v=\{8+(-3)+8;\;2+(-6)+28\}=\{13;24\}. \]

Ответ: \(\vec v\{13;24\}\).

Проверка

а) \[ 3\cdot2-3\cdot(-5)=6+15=21, \] \[ 3\cdot(-5)-3\cdot2=-15-6=-21. \]

б) \[ 2\cdot4-3\cdot1+4\cdot2=8-3+8=13, \] \[ 2\cdot1-3\cdot2+4\cdot7=2-6+28=24. \]

Всё сходится.