145. Исследуйте функцию и постройте её график:

Краткий ответ

Для пункта б):

\[ y= \begin{cases} -5 & \text{при } x<3,\\ 2 & \text{при } x=3,\\ x^{2}-3x+3 & \text{при } x>3. \end{cases} \]

График состоит из трёх частей:

• при \(x<3\) — горизонтальный луч \(y=-5\), причём точка \((3;-5)\) выколотая;
• при \(x=3\) — отдельная закрашенная точка \((3;2)\);
• при \(x>3\) — правая ветвь параболы \(y=x^{2}-3x+3\), начинающаяся с выколотой точки \((3;3)\) и уходящая вверх.

Как построить и исследовать

1. Левая часть: при \(x<3\) функция постоянна: \(y=-5\). Рисуем луч влево от \(x=3\). Так как условие строгое \(x<3\), точка \((3;-5)\) не принадлежит графику — она выколотая.

2. Точка при \(x=3\): по второй строке \(y=2\). Ставим закрашенную точку \((3;2)\).

3. Правая часть: преобразуем выражение:

\[ x^{2}-3x+3=(x-1{,}5)^{2}+0{,}75. \]

Вершина параболы — \((1{,}5;0{,}75)\), но она не входит в график, потому что нужна только часть при \(x>3\). При приближении к \(3\) справа значения стремятся к \(3\), поэтому в точке \((3;3)\) ставим выколотую точку. Далее ветвь возрастает, например:

\[ y(4)=16-12+3=7,\qquad y(5)=25-15+3=13. \]

Свойства функции

\[ D(y)=\mathbb{R}, \]

\[ E(y)=\{-5\}\cup\{2\}\cup(3;+\infty). \]

• Наименьшее значение: \(y_{\min}=-5\), наибольшего значения нет.
• Нулей нет: график не пересекает ось \(Ox\).
• С осью \(Oy\) пересекается в точке \((0;-5)\).
• При \(x<3\) функция отрицательна, при \(x\ge 3\) — положительна.
• На \((-\infty;3)\) функция постоянна, на \((3;+\infty)\) возрастает. На всей области определения она не убывает.
• В точке \(x=3\) функция терпит разрыв: слева значения близки к \(-5\), справа — к \(3\), а само значение равно \(2\).

Проверка: \(y(2)=-5\), \(y(3)=2\), \(y(4)=7\). В точке \(x=3\) на графике должны быть две выколотые точки \((3;-5)\), \((3;3)\) и одна закрашенная \((3;2)\).