145. Исследуйте функцию и постройте её график:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Исследуйте функцию и постройте её график: б) \[ y = \begin{cases} -5 & \text{при } x < 3, \\ 2 & \text{при } x = 3, \\ x^{2} - 3x + 3 & \text{при } x > 3. \end{cases} \]
Краткий ответ. \[ y=\begin{cases} -5, & \text{при } x<3,\\ 2, & \text{при } x=3,\\ x^{2}-3x+3, & \text{при } x>3. \end{cases} \]
График состоит из трёх частей:
- горизонтального луча \(y=-5\) при \(x<3\); в точке \((3;-5)\) выколотая точка;
- отдельной точки \((3;2)\);
- правой ветви параболы \(y=x^{2}-3x+3\) при \(x>3\). В точке \((3;3)\) — выколотая точка, затем ветвь идёт вверх: \((4;7)\), \((5;13)\).
Схематично, не в масштабе:
y
↑
13 | ● (5; 13)
| /
7 | ● (4; 7)
| /
3 | ○ (3; 3)
2 | ● (3; 2)
------+------------|-------→ x
-5 |←━━━━━━━━━━━○ (3; −5)
0 3
Исследование функции.
Область определения: \[ D(y)=\mathbb{R}. \]
Область значений: \[ E(y)=\{-5\}\cup\{2\}\cup(3;+\infty). \] При \(x>3\) имеем \(x^{2}-3x+3=3+x(x-3)>3\), поэтому правая ветвь принимает значения больше \(3\), но не \(3\).
Нулей нет: на \(x<3\) функция равна \(-5\), при \(x=3\) равна \(2\), а квадратный трёхчлен \(x^{2}-3x+3\) положителен. С осью \(Oy\) график пересекается в точке \((0;-5)\).
Знаки: \(y<0\) при \(x<3\); \(y>0\) при \(x\ge3\).
В точке \(x=3\): \[ \lim_{x\to3^{-}}y=-5,\qquad \lim_{x\to3^{+}}y=3,\qquad y(3)=2. \] Поэтому в точке \(x=3\) разрыв первого рода. На промежутках \((-\infty;3)\) и \((3;+\infty)\) функция непрерывна.
Монотонность: на \((-\infty;3)\) функция постоянна; на \([3;+\infty)\) строго возрастает. На всей области определения она не убывает. У параболы вершина при \(x=1{,}5\), поэтому при \(x>3\) её ветвь возрастает.
Наименьшее значение равно \(-5\) при \(x<3\). Наибольшего значения нет; функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Принцип решения похожих заданий. Кусочную функцию строят по участкам: на каждом промежутке применяют свою формулу. На границе \(x=3\) отдельно проверяют односторонние пределы и значение функции. Строгое неравенство даёт выколотую точку, отдельное условие \(x=3\) — обычную точку графика.
Обсуждение
2 сообщенияМне важно не столько исследование, сколько просто понять, почему так, и почему у этих частей такое странное условие: -5, но только если х<3
Хорошо, исследование убираем. Главное — понять, как читается такая запись.
Функция здесь задана не одной формулой, а тремя правилами. Условия — это не «странное дополнение», а указание, для каких \(x\) брать какое правило:
\[ y=\begin{cases} -5, & x<3,\\ 2, & x=3,\\ x^{2}-3x+3, & x>3. \end{cases} \]
Читается так:
- если \(x\) меньше \(3\), то \(y=-5\);
- если \(x\) равно \(3\), то \(y=2\);
- если \(x\) больше \(3\), то \(y=x^{2}-3x+3\).
Почему у \(-5\) условие \(x<3\)
Потому что так задано правило: для всех чисел слева от \(3\) функция постоянна и равна \(-5\). Например:
\[ y(0)=-5,\qquad y(1)=-5,\qquad y(2{,}9)=-5. \]
На графике это горизонтальный луч на высоте \(-5\), идущий влево от \(x=3\).
А при \(x=3\) уже действует другая строка условия:
\[ y(3)=2. \]
Поэтому в точке \((3;-5)\) на графике выколотая точка: значение \(-5\) при \(x=3\) не используется.
Почему именно строгое \(x<3\)
Потому что при \(x=3\) функция уже должна быть равна \(2\). Если бы написали \(x\le3\), то при \(x=3\) получилось бы одновременно:
\[ y=-5 \quad \text{и} \quad y=2, \]
а функция не может давать два разных значения при одном \(x\).
То же самое с параболой. При \(x=3\) формула
\[ x^{2}-3x+3 \]
даёт
\[ 3^{2}-3\cdot3+3=3. \]
Но в условии стоит \(x>3\), а не \(x\ge3\). Значит, точку \((3;3)\) на параболе тоже не берём — она выколотая. А вместо неё стоит отдельная точка \((3;2)\).
Коротко
Условия \(x<3\), \(x=3\), \(x>3\) просто делят все числа на три части:
- слева от \(3\) — горизонтальная прямая \(y=-5\);
- ровно в \(3\) — отдельная точка \(y=2\);
- справа от \(3\) — парабола.
Само число \(-5\) не вычисляется из формулы — оно задано в условии. Это как инструкция: «если \(x\) меньше \(3\), выведи \(-5\)».
