баардыгы туура кылып чыгар
Сверь числа и знаки с фото.
- Запишите формулы, связывающие значения тригонометрических функций одного аргумента.
- Упростите выражение: а) \((\mathrm{tg}\,\alpha+\mathrm{ctg}\,\alpha)(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)\); б) \(\frac{\cos^3\alpha+\sin^3\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{\cos\alpha}\); в) \(\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}+\frac{1}{1+\mathrm{ctg}^2\alpha}\); г) \(\sin^3\alpha(1+\mathrm{ctg}\,\alpha)+\cos^3\alpha(1+\mathrm{tg}\,\alpha)\).
- Докажите тождество: а) \(\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\); б) \(\frac{1-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha-\mathrm{ctg}\,\alpha}=2\,\mathrm{tg}^2\alpha\); в) \(\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\); г) \(\mathrm{tg}^2\alpha-\sin^2\alpha=\mathrm{tg}^2\alpha\sin^2\alpha\).
- Как зависят знаки \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\mathrm{tg}\,\alpha\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha\) от того, в какой координатной четверти лежит точка \(P_\alpha\)? Назовите эти знаки.
- Определите знак: а) \(\sin(-212^\circ)\) и \(\mathrm{ctg}\,\frac{7\pi}{9}\); б) \(\cos 305^\circ\) и \(\mathrm{tg}\left(-\frac{6\pi}{5}\right)\); в) \(\cos(-105^\circ)\) и \(\mathrm{ctg}\,\frac{11\pi}{9}\); г) \(\sin(-324^\circ)\) и \(\mathrm{tg}\,\frac{9\pi}{4}\).
Сүрөттөгү 4 жана 5-тапшырмалардын баарын чыгардым.
Кыскача жооп
4.2. Жөнөкөйлөтүү: а) \(\mathrm{tg}\,\alpha\); б) \(1+2\,\mathrm{ctg}\,2\alpha\); в) \(1\); г) \(\sin\alpha+\cos\alpha\).
4.3. Төрт теңдештик те туура — төмөндө далилделди.
5.1. Белгилер:
| Чейрек | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\mathrm{tg}\,\alpha\) | \(\mathrm{ctg}\,\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| IV | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
5.2. Белгилер: а) \(\sin(-212^\circ)>0\), \(\mathrm{ctg}\,\frac{7\pi}{9}<0\); б) \(\cos305^\circ>0\), \(\mathrm{tg}\left(-\frac{6\pi}{5}\right)<0\); в) \(\cos(-105^\circ)<0\), \(\mathrm{ctg}\,\frac{11\pi}{9}>0\); г) \(\sin(-324^\circ)>0\), \(\mathrm{tg}\,\frac{9\pi}{4}>0\).
4.1. Бир аргументтин тригонометриялык функцияларын байланыштырган формулалар
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \] \[ \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \mathrm{ctg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \] \[ \mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{ctg}\,\alpha=1, \] \[ 1+\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1+\mathrm{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}. \]
4.2. Жөнөкөйлөтүү
Негизги ыкма: \(\mathrm{tg}\) жана \(\mathrm{ctg}\) функцияларын \(\sin\) жана \(\cos\) аркылуу жазып, анан \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) окшоштугун колдонобуз.
а) \((\mathrm{tg}\,\alpha+\mathrm{ctg}\,\alpha)(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)\)
\[ (1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha. \]
\[ \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)\sin^2\alpha =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\cdot\sin^2\alpha \] \[ =\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\cdot\sin^2\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =\mathrm{tg}\,\alpha. \]
б) \(\dfrac{\cos^3\alpha+\sin^3\alpha}{\sin\alpha}+\dfrac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{\cos\alpha}\)
Бөлчөктөрдү бөлүп жазабыз:
\[ \frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha}. \]
\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) болгондуктан:
\[ 1+\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha} =1+\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}. \]
Эми \(\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos2\alpha\):
\[ 1+\frac{\cos2\alpha}{\frac12\sin2\alpha} =1+2\,\mathrm{ctg}\,2\alpha. \]
в) \(\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2\alpha}+\dfrac{1}{1+\mathrm{ctg}^2\alpha}\)
\[ 1+\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha},\qquad 1+\mathrm{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}. \]
Демек:
\[ \frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}}+\frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} =\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]
г) \(\sin^3\alpha(1+\mathrm{ctg}\,\alpha)+\cos^3\alpha(1+\mathrm{tg}\,\alpha)\)
\[ \sin^3\alpha+\sin^2\alpha\cos\alpha+\cos^3\alpha+\cos^2\alpha\sin\alpha. \]
Топтоп жазабыз:
\[ (\sin\alpha+\cos\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) =\sin\alpha+\cos\alpha. \]
4.3. Далилдөө
а) \(\dfrac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}=\dfrac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
Бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн \(1+\sin\alpha\)-га көбөйтөбүз:
\[ \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} =\frac{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}{(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)} =\frac{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}{1-\sin^2\alpha} =\frac{\cos\alpha(1+\sin\alpha)}{\cos^2\alpha} =\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]
б) \(\dfrac{1-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha\cos\alpha-\mathrm{ctg}\,\alpha}=2\,\mathrm{tg}^2\alpha\)
Алымы:
\[ 1-(\sin\alpha+\cos\alpha)^2 =1-(\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha) =-2\sin\alpha\cos\alpha. \]
Бөлүмү:
\[ \sin\alpha\cos\alpha-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\sin^2\alpha\cos\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha} =\frac{\cos\alpha(\sin^2\alpha-1)}{\sin\alpha} =-\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}. \]
Демек:
\[ \frac{-2\sin\alpha\cos\alpha}{-\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}} =\frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =2\,\mathrm{tg}^2\alpha. \]
в) \(\dfrac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\dfrac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\)
\[ \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)} =\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{1-\cos^2\alpha} =\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin^2\alpha} =\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
г) \(\mathrm{tg}^2\alpha-\sin^2\alpha=\mathrm{tg}^2\alpha\sin^2\alpha\)
\[ \mathrm{tg}^2\alpha-\sin^2\alpha =\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha =\frac{\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{\sin^2\alpha(1-\cos^2\alpha)}{\cos^2\alpha} \] \[ =\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\sin^2\alpha =\mathrm{tg}^2\alpha\sin^2\alpha. \]
5.1. Белгилердин чейрекке көз карандылыгы
\(P_\alpha(x;y)\) чекити үчүн:
\[ \sin\alpha=y,\qquad \cos\alpha=x,\qquad \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{y}{x},\qquad \mathrm{ctg}\,\alpha=\frac{x}{y}. \]
Ошондуктан белгилер координаталардын белгилери менен аныкталат:
| Чейрек | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\mathrm{tg}\,\alpha\) | \(\mathrm{ctg}\,\alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| I | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| II | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| IV | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
5.2. Белгини аныктоо
Терс бурчтарды \(360^\circ\) кошуу менен \(0^\circ\)-тан \(360^\circ\)-ка чейинки аралыкка келтиребиз.
а) \(\sin(-212^\circ)\) жана \(\mathrm{ctg}\,\frac{7\pi}{9}\)
\[ -212^\circ+360^\circ=148^\circ. \]
\(148^\circ\) — II чейрек, \(\sin\alpha>0\). Демек \(\sin(-212^\circ)>0\).
\[ \frac{7\pi}{9}=140^\circ \]
— II чейрек, \(\mathrm{ctg}\,\alpha<0\). Демек \(\mathrm{ctg}\,\frac{7\pi}{9}<0\).
б) \(\cos305^\circ\) жана \(\mathrm{tg}\left(-\frac{6\pi}{5}\right)\)
\(305^\circ\) — IV чейрек, \(\cos\alpha>0\). Демек \(\cos305^\circ>0\).
\[ -\frac{6\pi}{5}+2\pi=\frac{4\pi}{5}=144^\circ. \]
\(144^\circ\) — II чейрек, \(\mathrm{tg}\,\alpha<0\). Демек \(\mathrm{tg}\left(-\frac{6\pi}{5}\right)<0\).
в) \(\cos(-105^\circ)\) жана \(\mathrm{ctg}\,\frac{11\pi}{9}\)
\[ \cos(-105^\circ)=\cos105^\circ. \]
\(105^\circ\) — II чейрек, \(\cos\alpha<0\). Демек \(\cos(-105^\circ)<0\).
\[ \frac{11\pi}{9}=220^\circ \]
— III чейрек, \(\mathrm{ctg}\,\alpha>0\). Демек \(\mathrm{ctg}\,\frac{11\pi}{9}>0\).
г) \(\sin(-324^\circ)\) жана \(\mathrm{tg}\,\frac{9\pi}{4}\)
\[ -324^\circ+360^\circ=36^\circ. \]
\(36^\circ\) — I чейрек, \(\sin\alpha>0\). Демек \(\sin(-324^\circ)>0\).
\[ \frac{9\pi}{4}=2\pi+\frac{\pi}{4} \]
— I чейрек, \(\mathrm{tg}\,\alpha>0\). Демек \(\mathrm{tg}\,\frac{9\pi}{4}>0\).
Текшерүү
4.2 а) \(\alpha=30^\circ\) болсун:
\[ \left(\frac{1}{\sqrt3}+\sqrt3\right)\left(1-\frac34\right) =\frac{4}{\sqrt3}\cdot\frac14 =\frac{1}{\sqrt3} =\mathrm{tg}\,30^\circ. \]
4.2 в) \(\alpha=30^\circ\):
\[ \frac{1}{1+\frac13}+\frac{1}{1+3} =\frac34+\frac14=1. \]
4.3 г) \(\alpha=45^\circ\):
\[ \mathrm{tg}^2 45^\circ-\sin^2 45^\circ=1-\frac12=\frac12, \] \[ \mathrm{tg}^2 45^\circ\cdot\sin^2 45^\circ=1\cdot\frac12=\frac12. \]
Демек жыйынтыктар туура.
