реши 20.6 и 20.7

Кратко

20.6: 1) \(90^\circ\); 2) \(720^\circ\); 3) \(486^\circ\); 4) \(780^\circ\).

20.7: 1) \(x=\frac{\pi}{3}+\pi n\) или \(x=\frac{2\pi}{3}+\pi n\), \(n\in\mathbb Z\); 2) решений нет.

20.6

1)
\[ \sin^2x-3\sin x+2=0. \] Пусть \(t=\sin x\). Тогда \[ t^2-3t+2=0 \Rightarrow t=1 \text{ или } t=2. \] Значение \(t=2\) невозможно, поэтому \(\sin x=1\). На отрезке \([0^\circ;360^\circ]\) это только \(x=90^\circ\).
Сумма: \(\boxed{90^\circ}\).

2)
\[ 5\cos^2x-5\cos x=1-3\sin^2x. \] Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\): \[ 5\cos^2x-5\cos x=1-3(1-\cos^2x), \] \[ 2\cos^2x-5\cos x+2=0. \] Отсюда \(\cos x=2\) — невозможно, или \[ \cos x=\frac12. \] На отрезке \([270^\circ;450^\circ]\) подходят \[ x=300^\circ,\quad x=420^\circ. \] Сумма: \[ 300^\circ+420^\circ=720^\circ. \]

3)
Сгруппируем слагаемые: \[ (\sin x+\sin4x)+(\sin2x+\sin3x)=0. \] По формулам суммы синусов: \[ 2\sin\frac{5x}{2}\left(\cos\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right)=0. \] Далее \[ 4\sin\frac{5x}{2}\cos x\cos\frac{x}{2}=0. \] Значит, возможны три случая:

• \(\sin\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow x=72^\circ k\). На \([0^\circ;180^\circ]\): \(0^\circ,72^\circ,144^\circ\).
• \(\cos x=0 \Rightarrow x=90^\circ\).
• \(\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=180^\circ\).

Корни: \(0^\circ,72^\circ,90^\circ,144^\circ,180^\circ\).
Сумма: \[ 0+72+90+144+180=486^\circ. \]

4)
Введём вспомогательный угол: \[ \sin x+\sqrt3\cos x=2\sin(x+60^\circ). \] Уравнение принимает вид \[ 2\sin(x+60^\circ)=1, \] \[ \sin(x+60^\circ)=\frac12. \] Так как \(x\in[270^\circ;450^\circ]\), то \[ x+60^\circ\in[330^\circ;510^\circ]. \] На этом промежутке подходят \[ x+60^\circ=390^\circ,\quad x+60^\circ=510^\circ. \] То есть \[ x=330^\circ,\quad x=450^\circ. \] Сумма: \[ 330^\circ+450^\circ=780^\circ. \]

20.7

1)
\[ \frac{\sin3x}{\sin x}=0. \] Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

\[ \sin3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}. \] Но нужно исключить \(x=\pi m\), то есть случаи, когда \(n\) кратно \(3\). Поэтому \[ x=\frac{\pi n}{3},\quad n\not\equiv0\pmod3. \] Это можно записать двумя сериями: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.} \]

2)
\[ \frac{\cos x}{\cos3x}=0. \] Нужно \(\cos x=0\), то есть \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi n. \] Но при таких \(x\) \[ 3x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n, \] и \(\cos3x=0\). Значит, знаменатель тоже обращается в нуль, а дробь не определена.

Следовательно, \(\boxed{\text{решений нет}}\).

Общий принцип: сначала решаем уравнение, затем отбираем корни на заданном промежутке; для дробей обязательно проверяем ОДЗ.