Указания к работе 1. Измерьте массу тела на весах (рис. 197, а).

Коротко. Погрешность прямого измерения берут по прибору: \(\Delta = \frac{\text{цена деления}}{2}\) (плюс паспортная погрешность прибора, если она указана). У весов с гирями \(\Delta m\) равна массе наименьшей гири. При вычитании значений погрешности складываются, а при делении и умножении складываются относительные погрешности.

1. Цена деления и погрешность отсчёта

Цена деления: \[ \text{ЦД} = \frac{a_2 - a_1}{n}, \] где \(a_2-a_1\) — разность двух соседних подписанных значений, \(n\) — число делений между ними.

Погрешность отсчёта — половина цены деления: \[ \Delta_{\text{отсч}} = \frac{\text{ЦД}}{2}. \]

Если в паспорте прибора указана приборная погрешность \(\Delta_{\text{приб}}\), то \[ \Delta = \Delta_{\text{отсч}} + \Delta_{\text{приб}}. \] На практике, если одна из них мала, берут большую. Уточни у учителя, какое правило у вас принято.

2. Масса на рычажных весах

Здесь шкалы нет — точность ограничена набором гирь, поэтому \[ \Delta m = m_{\text{наим. гири}}. \] Например, если наименьшая гиря 1 г, то \(\Delta m = 1\) г. (Некоторые учителя требуют брать половину — проверь по инструкции к работе.)

3. Объём тела

Объём — разность двух отсчётов, а погрешности при вычитании складываются: \[ V = V_2 - V_1, \qquad \Delta V = \Delta V_1 + \Delta V_2 = 2\cdot\frac{\text{ЦД}}{2} = \text{ЦД}. \] То есть при цене деления 1 см³ получаем \(\Delta V = 1\) см³.

4. Погрешность плотности

Плотность считается по формуле \(\rho = \frac{m}{V}\), значит относительные погрешности складываются: \[ \varepsilon_\rho = \varepsilon_m + \varepsilon_V = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V}. \] Абсолютная погрешность: \[ \Delta \rho = \varepsilon_\rho \cdot \rho. \]

Пример. \(m = 78\) г, \(\Delta m = 1\) г; \(V_1 = 50\) см³, \(V_2 = 60\) см³, значит \(V = 10\) см³, \(\Delta V = 1\) см³. \[ \rho = \frac{78}{10} = 7{,}8\ \text{г/см}^3, \] \[ \varepsilon_\rho = \frac{1}{78} + \frac{1}{10} \approx 0{,}013 + 0{,}10 = 0{,}113 \approx 11\%, \] \[ \Delta \rho \approx 0{,}113 \cdot 7{,}8 \approx 0{,}9\ \text{г/см}^3. \]

5. Запись результата

\[ \rho = (7{,}8 \pm 0{,}9)\ \text{г/см}^3, \qquad \varepsilon \approx 11\%. \]

Округление: погрешность оставляют с одной значащей цифрой, результат — до того же разряда. Здесь \(\Delta\rho = 0{,}9\) (десятые) — значит и ρ пишем до десятых.

Проверка: относительная погрешность объёма обычно намного больше погрешности массы, поэтому главный вклад в \(\varepsilon_\rho\) даёт именно \(\Delta V\) — это нормально для такой работы и объясняет, почему результат получается грубым.

Если скажешь, какая у тебя мензурка (цена деления) и какие гири, я посчитаю погрешность по твоим числам.

Понял, \(m = 10\) г. Тогда плотность уже почти записана: \[ \rho = \frac{10}{V}\ \text{г/см}^3, \] где \(V\) — объём тела в см³.

Что ещё нужно: показания мензурки до и после погружения тела (\(V_1\) и \(V_2\)) и цена деления цилиндра. Тогда \(V = V_2 - V_1\), и я посчитаю ρ и погрешность.

Пока по массе: если наименьшая гиря 1 г, то \(\Delta m = 1\) г, а это \[ \varepsilon_m = \frac{1}{10} = 10\%. \] То есть при массе всего 10 г погрешность массы уже заметная — для маленького тела это нормально, но в выводе стоит указать, что основной вклад в ошибку даёт именно \(\Delta m\) (или \(\Delta V\), если цилиндр грубый).

Для ориентира: если \(V\) окажется около 3,7 см³, то ρ ≈ 2,7 г/см³ — это алюминий; если около 1,3 см³ — ρ ≈ 7,8 г/см³, сталь. Но это только догадка, нужны твои цифры.

Какие \(V_1\) и \(V_2\) получились и какова цена деления мензурки?

Коротко: для алюминия табличная плотность \(\rho_{\text{табл}} = 2{,}7\) г/см³ (2700 кг/м³). При \(m = 10\) г это значит, что объём тела должен быть \[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{10}{2{,}7} \approx 3{,}7\ \text{см}^3. \] То есть в мензурке уровень воды должен подняться примерно на 3,7 см³ — например, с 50 до 53,7 см³. Если у тебя получилась похожая разность, вывод «алюминий» подтверждается.

Как это оформить в работе

1. Записываешь измеренные \(m\), \(V_1\), \(V_2\), считаешь \(V = V_2 - V_1\) и \(\rho = \frac{m}{V}\).
2. Сравниваешь \(\rho\) с табличным 2,7 г/см³.
3. Делаешь вывод: «Измеренная плотность совпала с табличной плотностью алюминия в пределах погрешности, значит, вещество — алюминий».

Погрешность при твоих данных

Если наименьшая гиря 1 г, то \(\Delta m = 1\) г: \[ \varepsilon_m = \frac{1}{10} = 10\%. \] Пусть цена деления мензурки 1 см³, тогда \(\Delta V = 1\) см³ и \[ \varepsilon_V = \frac{1}{3{,}7} \approx 27\%, \] \[ \varepsilon_\rho \approx 10\% + 27\% = 37\%,\qquad \Delta\rho \approx 0{,}37 \cdot 2{,}7 \approx 1{,}0\ \text{г/см}^3. \] Запись результата: \[ \rho = (2{,}7 \pm 1{,}0)\ \text{г/см}^3, \qquad \varepsilon \approx 37\%. \] Интервал 1,7–3,7 г/см³ — табличное значение 2,7 в него попадает.

Проверка на правдоподобие: при \(V \approx 3{,}7\) см³ мензурка должна иметь цену деления не грубее 1 см³. Если у твоей мензурки деления по 5 см³, подъём воды почти не виден — тогда для точности берут несколько одинаковых тел (например, 10 гаек), измеряют общий объём и делят на 10.

Важное замечание для вывода: у тебя маленькое тело, поэтому основной вклад в ошибку даёт объём (малая разность двух отсчётов). Это стоит написать в выводе — так объясняется, почему \(\varepsilon\) такая большая.

Скажи цену деления мензурки и \(V_1\), \(V_2\) — я посчитаю ρ и погрешность точно по твоим числам.