Реши с чертежом
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 2
- Хорды окружности \(AK\) и \(ME\) пересекаются в точке \(O\). Найти длину отрезка \(MO\) и \(OE\), если \(AO = 2\) см, \(OK = 12\) см, \(ME = 10\) см.
- Из точки \(A\), лежащей вне окружности проведены лучи \(AC\) и \(AK\), пересекающие окружность в точках \(B\), \(C\) и \(M\), \(K\) соответственно, начиная от точки \(A\). Найти длину отрезка \(AC\) и \(BC\), если \(AM = 3\), \(MK = 5\), \(AB = 4\)
- Из точки \(A\), не лежащей на окружности проведена касательная \(AB\) и секущая \(AK\), которая пересекает окружность в точках \(K\) и \(P\) начиная от точки \(A\). Найти длину отрезка \(AB\), если \(AK = 4\), \(AP = 9\).
Краткие ответы:
- \(MO\) и \(OE\) равны \(4\) см и \(6\) см — порядок зависит от чертежа.
- \(AC=6\), \(BC=2\).
- \(AB=6\) см.
Общая идея. Для точки внутри или вне окружности произведение расстояний до точек пересечения с окружностью по любой проходящей через неё прямой одинаково. Поэтому во всех трёх задачах работают «произведения отрезков».
1. Пересекающиеся хорды
Схема: \(A-O-K\), \(M-O-E\), причём \(AO=2\), \(OK=12\), \(MO+OE=ME=10\).
Пусть \(MO=x\). Тогда \(OE=10-x\). По теореме о пересекающихся хордах:
\[ AO\cdot OK=MO\cdot OE. \]
Подставляем:
\[ 2\cdot 12=x(10-x), \]
\[ x^2-10x+24=0, \]
\[ (x-4)(x-6)=0. \]
Значит, \(x=4\) или \(x=6\). То есть отрезки второй хорды равны \(4\) см и \(6\) см.
Если на вашем чертеже \(MO\) — больший отрезок, то \(MO=6\) см, \(OE=4\) см; возможен и обратный порядок.
Проверка: \(2\cdot12=4\cdot6=24\).
2. Две секущие из внешней точки
Схема: из точки \(A\) выходят два луча: \(A-B-C\) и \(A-M-K\).
Дано: \(AB=4\), \(AM=3\), \(MK=5\).
Сначала находим всю вторую секущую:
\[ AK=AM+MK=3+5=8. \]
Для двух секущих из одной внешней точки:
\[ AB\cdot AC=AM\cdot AK. \]
\[ 4\cdot AC=3\cdot8=24, \]
\[ AC=6. \]
Тогда
\[ BC=AC-AB=6-4=2. \]
Проверка: \(4\cdot6=3\cdot8=24\).
3. Касательная и секущая
Схема: \(AB\) — касательная, \(B\) — точка касания; \(A-K-P\) — секущая.
Дано: \(AK=4\), \(AP=9\).
По теореме о касательной и секущей:
\[ AB^2=AK\cdot AP. \]
\[ AB^2=4\cdot9=36, \]
\[ AB=6. \]
Проверка: \(6^2=4\cdot9=36\).
Обсуждение
2 сообщенияКак чертить
Ниже — как построить каждый чертёж. Масштаб удобно взять 1 см на бумаге = 1 см в условии: все три рисунка по отдельности влезают на лист А4. Главное — чтобы совпадал порядок точек и все числа были подписаны.
Рис. 1. Пересекающиеся хорды
- Циркулем — окружность радиусом \(7\) см (диаметр \(14\) см).
- Через центр \(C\) проведи диаметр, концы — \(A\) и \(K\): \(AK=14\) см.
- На диаметре от \(A\) отложи \(2\) см — это точка \(O\). Тогда \(OK=12\) см.
- Через \(O\) проведи хорду \(ME\) почти перпендикулярно диаметру (угол около \(80^\circ\)). Проверь линейкой: должно получиться примерно \(MO=4\) см, \(OE=6\) см; если не сходится — чуть поверни прямую.
Подпиши на чертеже: \(AO=2\), \(OK=12\), \(MO=4\), \(OE=6\). Порядок точек: \(A-O-K\) и \(M-O-E\) (точка \(O\) внутри каждой хорды).
Проверка: \(2\cdot12=4\cdot6=24\).
Если в учебнике буквы стоят наоборот, просто поменяй подписи \(M\) и \(E\) — на решение это не влияет.
Рис. 2. Две секущие из внешней точки
- Поставь точку \(A\) (слева, вне будущей окружности).
- Первый луч вправо: \(B\) на расстоянии \(4\) см, \(C\) — на \(6\) см (порядок \(A-B-C\)).
- Второй луч из \(A\) вверх-вправо под углом примерно \(60^\circ\): \(M\) на \(3\) см, \(K\) — на \(8\) см (порядок \(A-M-K\)).
- Проведи окружность через \(B\), \(C\) и \(M\): её центр — пересечение серединных перпендикуляров к \(BC\) и \(CM\). Она должна пройти и через \(K\) — это и есть проверка чертежа (так как \(4\cdot6=3\cdot8\)).
Подпиши: \(AB=4\), \(AC=6\) (или \(BC=2\)), \(AM=3\), \(AK=8\) (или \(MK=5\)).
Рис. 3. Касательная и секущая
- Точка \(A\).
- Луч вправо: \(K\) на \(4\) см, \(P\) на \(9\) см (порядок \(A-K-P\)).
- Окружность с диаметром \(KP\): центр — середина \(KP\) (в \(6{,}5\) см от \(A\)), радиус \(2{,}5\) см.
- Из \(A\) проведи касательную к этой окружности: проще всего приложить линейку так, чтобы она проходила через \(A\) и только касалась окружности. Точку касания обозначь \(B\). Должно получиться \(AB=6\) см.
Подпиши: \(AK=4\), \(KP=5\), \(AP=9\), \(AB=6\).
Проверка: \(4\cdot9=36=6^2\).
Общие советы по чертежу: сначала рисуй тонко простым карандашом, точки отмечай и подписывай сразу; окружность — циркулем, отрезки — по линейке. Небольшая неточность в 1–2 мм не страшна: чертёж — схема, а ответы даёт теорема о произведениях отрезков.
