√5x+1=3

Кратко: если уравнение такое — \[ \sqrt{2x+1}=3, \] то \(x=4\).

Решение по тому же принципу:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: \(2x+1\ge 0\).
2. Возводим обе части в квадрат: \[ 2x+1=9. \]
3. Отсюда: \[ 2x=8,\qquad x=4. \]
4. Проверка: \[ \sqrt{2\cdot4+1}=\sqrt9=3. \] Сходится.

Отличие от прошлого примера только в коэффициенте: там было \(5x\), здесь \(2x\), поэтому после вычитания единицы делим на 2, а не на 5.

Если имелось в виду \((\sqrt2)x+1=3\), то \(x=\sqrt2\).

Разберу второе уравнение максимально подробно.

Условие

\[ \sqrt{2x+1}=3 \]

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Под квадратным корнем не может быть отрицательного числа, поэтому: \[ 2x+1\ge 0. \] Решаем: \[ 2x\ge -1, \] \[ x\ge -\frac12. \] Значит, корень уравнения должен быть не меньше \(-0{,}5\).

Правая часть равна \(3\), то есть положительна. Это важно: корень из числа не может быть отрицательным, а здесь он равен \(3\) — противоречия нет.

Шаг 2. Убираем корень

Возводим обе части уравнения в квадрат: \[ \left(\sqrt{2x+1}\right)^2=3^2. \] Квадрат корня даёт подкоренное выражение: \[ 2x+1=9. \]

Шаг 3. Решаем линейное уравнение

Переносим \(1\) вправо: \[ 2x=9-1, \] \[ 2x=8. \] Делим обе части на \(2\): \[ x=\frac{8}{2}=4. \]

Шаг 4. Проверка ОДЗ

\[ 4\ge -\frac12 \] — верно, значит \(x=4\) подходит.

Шаг 5. Проверка подстановкой

Подставляем \(x=4\) в исходное уравнение: \[ \sqrt{2\cdot4+1}=\sqrt{8+1}=\sqrt9=3. \] Получили \(3=3\) — верно.

Ответ

\[ x=4 \]

Главное в таких уравнениях: сначала находим ОДЗ, затем возводим обе части в квадрат, решаем полученное уравнение и обязательно проверяем найденный корень — и по ОДЗ, и подстановкой. При возведении в квадрат иногда появляются лишние корни, поэтому проверка здесь не формальность, а обязательный шаг.

Если запись означает \((\sqrt2)\,x+1=3\), тогда решение другое: \[ (\sqrt2)x=2,\qquad x=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2. \] Скажи, какой вариант у тебя в учебнике, если нужно разобрать именно его.

Разберу первое уравнение так же подробно.

Условие

\[ \sqrt{5x+1}=3 \]

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Под квадратным корнем не может быть отрицательного числа, поэтому: \[ 5x+1\ge 0. \] Решаем: \[ 5x\ge -1, \] \[ x\ge -\frac15. \] То есть \(x\ge -0{,}2\). Значение корня должно попасть в этот промежуток.

Правая часть равна \(3>0\), значит противоречия нет: корень из числа не бывает отрицательным, а здесь он равен положительному числу.

Шаг 2. Убираем корень

Возводим обе части уравнения в квадрат: \[ \left(\sqrt{5x+1}\right)^2=3^2. \] Квадрат корня даёт подкоренное выражение: \[ 5x+1=9. \]

Шаг 3. Решаем линейное уравнение

Переносим \(1\) вправо: \[ 5x=9-1, \] \[ 5x=8. \] Делим обе части на \(5\): \[ x=\frac{8}{5}=1{,}6. \]

Шаг 4. Проверка ОДЗ

\[ 1{,}6\ge -0{,}2 \] — верно, значит найденное значение допустимо.

Шаг 5. Проверка подстановкой

Подставляем \(x=1{,}6\) в исходное уравнение: \[ \sqrt{5\cdot1{,}6+1}=\sqrt{8+1}=\sqrt9=3. \] Получили \(3=3\) — верно.

Ответ

\[ x=\frac85=1{,}6 \]

Сравнение с первым разбором второго уравнения: схема одинаковая — ОДЗ, возведение в квадрат, решение линейного уравнения, проверка. Разница только в коэффициенте при \(x\): там было \(2x\), здесь \(5x\), поэтому в конце делим на \(5\), а не на \(2\).

Если запись означает \((\sqrt5)x+1=3\), то решение такое: \[ (\sqrt5)x=2,\qquad x=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}. \] Уточни, какой вариант записан в учебнике, если нужно разобрать именно его.

Кратко: для уравнения \[ \sqrt{2x+3}=x \] ответ \(x=3\). Второй корень, \(x=-1\), появился при возведении в квадрат и не подходит.

Решение:

1. ОДЗ подкоренного выражения: \[ 2x+3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac32. \]

2. Дополнительное условие: корень неотрицателен, а он равен \(x\), поэтому обязательно \[ x\ge 0. \]

3. Возводим обе части в квадрат: \[ 2x+3=x^2. \]

4. Переносим всё в одну сторону: \[ x^2-2x-3=0. \]

5. Решаем квадратное уравнение (по теореме Виета: сумма корней \(2\), произведение \(-3\)): \[ x_1=3,\qquad x_2=-1. \]

6. Проверяем условие \(x\ge 0\):

• \(x=3\) — подходит;
• \(x=-1\) — не подходит, это лишний корень.

Проверка подстановкой: \[ \sqrt{2\cdot3+3}=\sqrt9=3 \] — верно. А при \(x=-1\): \[ \sqrt{2\cdot(-1)+3}=\sqrt1=1\neq -1 \] — неверно, корень из числа не может быть отрицательным.

Ответ: \[ x=3 \]

Принцип, который здесь новый по сравнению с прошлыми примерами: когда корень равен выражению с \(x\), недостаточно проверить только ОДЗ подкоренного выражения — нужно ещё потребовать, чтобы правая часть была неотрицательной. Именно это отсекает лишний корень.

Если в учебнике запись означает \((\sqrt2)\,x+3=x\), то есть \((\sqrt2-1)x=-3\) и \(x=\dfrac{3}{1-\sqrt2}=-3-3\sqrt2\) — уточни, если нужен этот вариант.