Иррациональные уравнение пример решение обьяснить
Краткий ответ
Иррациональное уравнение — то, в котором неизвестное стоит под знаком корня. Универсальный план такой:
- Уединить корень (оставить его одного в одной части).
- Возвести обе части в нужную степень — квадрат, куб и т. д.
- Решить получившееся обычное уравнение.
- Проверить корни (или сразу выписать ограничения) — возведение в чётную степень может «родить» посторонние корни.
Причина пункта 4: из \(a=b\) следует \(a^{2}=b^{2}\), но обратное неверно: \((-3)^{2}=3^{2}\), хотя \(-3 \ne 3\). Поэтому проверка — не формальность, а часть решения.
Пример 1
\[ \sqrt{2x+3}=x \]
Шаг 1. Ограничения. Под корнем \(2x+3 \ge 0\). Кроме того, корень неотрицателен, а он равен \(x\), значит \(x \ge 0\).
Шаг 2. Возводим в квадрат:
\[ 2x+3=x^{2} \]
Шаг 3. Решаем:
\[ x^{2}-2x-3=0,\qquad x_{1}=3,\quad x_{2}=-1 \]
Шаг 4. Проверка по ограничению \(x \ge 0\): корень \(-1\) посторонний (при нём правая часть отрицательна). Для \(x=3\): \(\sqrt{9}=3\) — верно.
Ответ: \(3\).
Пример 2 (посложнее, для 11 класса)
\[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=3 \]
ОДЗ: \(x \ge 1\).
Возводим в квадрат (левую часть — как квадрат суммы):
\[ (x+2)+(x-1)+2\sqrt{(x+2)(x-1)}=9 \]
\[ 2\sqrt{x^{2}+x-2}=8-2x \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+x-2}=4-x \]
Теперь важно: правая часть должна быть неотрицательной, то есть \(x \le 4\). Возводим в квадрат:
\[ x^{2}+x-2=16-8x+x^{2} \]
\[ 9x=18,\qquad x=2 \]
Проверяем: \(\sqrt{4}+\sqrt{1}=2+1=3\) — подходит, и \(1 \le 2 \le 4\).
Ответ: \(2\).
Как записывать без лишних слов
Вместо «возведём и потом проверим» можно писать равносильный переход:
\[ \sqrt{f(x)}=g(x)\iff \begin{cases} g(x)\ge 0,\\ f(x)=g^{2}(x) \end{cases} \]
Именно так отсекаются посторонние корни ещё до проверки. А если корень стоит не один, сначала уединяют его — как в примере 2.
Проверка результата в обоих примерах выполнена подстановкой: значения \(3\) и \(2\) действительно обращают исходные уравнения в верные равенства.
Обсуждение
2 сообщенияРазные примеры
Разные типы иррациональных уравнений
Ниже — по одному примеру на каждый типичный случай. Приём везде один: уединить корень, возвести в степень, а потом отсечь посторонние корни через условие \(g(x)\ge 0\) или проверку.
Тип 1. Корень равен числу — проверка почти не нужна.
\[ \sqrt{3x-5}=4 \]
Возводим в квадрат: \(3x-5=16\), откуда \(x=7\). Проверка: \(\sqrt{21-5}=\sqrt{16}=4\). Ответ: \(7\).
Тип 2. Корень равен корню — просто приравниваем подкоренные выражения.
\[ \sqrt{x+6}=\sqrt{2x-3} \]
\[ x+6=2x-3 \quad\Longrightarrow\quad x=9 \]
Проверка: слева \(\sqrt{15}\), справа \(\sqrt{15}\). Ответ: \(9\).
Тип 3. Кубический корень — проверка не нужна, куб взаимно однозначен.
\[ \sqrt[3]{x-1}=2 \]
\[ x-1=8 \quad\Longrightarrow\quad x=9 \]
Проверка: \(\sqrt[3]{8}=2\). Ответ: \(9\).
Важно: при нечётной степени посторонних корней не бывает, а при чётной — бывают.
Тип 4. Корень равен выражению с \(x\) — здесь работает условие \(g\ge 0\).
\[ \sqrt{5-x}=x-1 \]
Переход: \(x-1\ge 0\) и \(5-x=(x-1)^2\).
\[ 5-x=x^{2}-2x+1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x-4=0 \]
\[ x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2} \]
Условие \(x\ge 1\) отсекает отрицательный корень \(\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1{,}56\).
Проверка для \(x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx 2{,}56\): обе части положительны, после возведения равенство выполняется.
Ответ: \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\).
Тип 5. Замена переменной.
\[ x+\sqrt{x}=6 \]
Пусть \(t=\sqrt{x}\ge 0\), тогда \(x=t^{2}\):
\[ t^{2}+t-6=0 \quad\Longrightarrow\quad t=2 \ \text{или}\ t=-3 \]
\(t=-3\) не подходит из-за \(t\ge 0\), значит \(\sqrt{x}=2\) и \(x=4\).
Проверка: \(4+2=6\). Ответ: \(4\).
Тип 6. Два корня (перенос и снова квадрат).
\[ \sqrt{2x+5}-\sqrt{x+2}=1 \]
Уединяем: \(\sqrt{2x+5}=1+\sqrt{x+2}\), причём \(x\ge -2\). Возводим в квадрат:
\[ 2x+5=1+2\sqrt{x+2}+x+2 \]
\[ x+2=2\sqrt{x+2} \]
Замена \(t=\sqrt{x+2}\ge 0\): \(t^{2}=2t\), то есть \(t=0\) или \(t=2\). Отсюда \(x=-2\) или \(x=2\).
Проверка: \(x=-2\) даёт \(1-0=1\); \(x=2\) даёт \(3-2=1\). Оба подходят. Ответ: \(-2\);\ \(2\).
Тип 7. Корень из квадрата — это модуль.
\[ \sqrt{x^{2}-4x+4}=x-2 \]
Под корнем полный квадрат:
\[ \sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2|=x-2 \]
Равенство \(|a|=a\) верно только при \(a\ge 0\), поэтому нужен \(x-2\ge 0\).
Ответ: \(x\ge 2\) (решений бесконечно много, это не одно число).
Сводка приёмов
| Что видим | Что делаем |
|---|---|
| \(\sqrt{f}=a\) | \(f=a^{2}\) при \(a\ge 0\) |
| \(\sqrt{f}=\sqrt{g}\) | \(f=g\) плюс ОДЗ |
| \(\sqrt[3]{f}=a\) | \(f=a^{3}\), проверка не нужна |
| \(\sqrt{f}=g\) | система \(g\ge 0\), \(f=g^{2}\) |
| \(\sqrt{x}\) встречается с \(x\) | замена \(t=\sqrt{x}\ge 0\) |
| два корня | уединить один, возводить дважды |
| \(\sqrt{(x-a)^{2}}\) | раскрыть как \(|x-a|\) |
Проверка ответов сделана подстановкой: \(x=7\), \(9\), \(9\), \(\frac{1+\sqrt{17}}{2}\), \(4\), \(-2\) и \(2\), а в последнем примере — вся полуось \(x\ge 2\).
