а

На фото синей пометкой отмечен пункт 169. а). Беру его.

Краткий ответ: \[ x=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \]

Ключевые шаги

1. Переносим всё в левую часть: \[ 3\sin^2x+\sin x\cos x-2\cos^2x=0. \]

2. Проверяем, не потеряем ли корни при делении на \(\cos^2x\). Если \(\cos x=0\), то \(\sin^2x=1\), и уравнение даёт \(3\cdot1+0-0=3\neq0\). Значит, \(\cos x=0\) не является решением, и делить можно.

3. Делим обе части на \(\cos^2x\): \[ 3\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}x-2=0. \]

4. Замена \(t=\operatorname{tg}x\): \[ 3t^2+t-2=0,\qquad D=1+24=25, \] \[ t=\frac{-1\pm5}{6}. \] Отсюда \(t_1=\frac{2}{3}\), \(t_2=-1\).

5. Возвращаемся к \(x\): \[ \operatorname{tg}x=\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ x=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+\pi n, \] \[ \operatorname{tg}x=-1\ \Rightarrow\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n. \]

Проверка. Для \(x=-\frac{\pi}{4}\): \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\), \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\). Тогда \(3\sin^2x+\sin x\cos x=3\cdot\frac12-\frac12=1\), а \(2\cos^2x=2\cdot\frac12=1\). Верно.

Принцип. Уравнение однородное: все слагаемые второй степени. Поэтому деление на \(\cos^2x\) сводит его к квадратному относительно \(\operatorname{tg}x\). Если справа стоит число, как в № 170, сначала представляют это число как \(a(\sin^2x+\cos^2x)\), чтобы снова получить однородное уравнение.