170. a) 4sin²x − sin2x = 3; б) sin2x − cosx = 0;

Для № 170 (по пунктам на фото):

а) \(4\sin^2x-\sin2x=3\): \[ x=\mathrm{arctg}\,3+\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

б) \(\sin2x-\cos x=0\): \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z. \]

в) \(\cos2x=2\cos x-1\): \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad x=2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z. \]

г) \(\sin2x+4\cos^2x=1\): \[ x=\mathrm{arctg}\,3+\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Как это получается

Используем формулы двойного угла: \[ \sin2x=2\sin x\cos x,\qquad \cos2x=2\cos^2x-1, \] а также основное тождество \(1=\sin^2x+\cos^2x\).

В а) и г) после преобразований получается одно и то же уравнение: \[ \sin^2x-2\sin x\cos x-3\cos^2x=0. \] Его можно разложить: \[ (\sin x-3\cos x)(\sin x+\cos x)=0. \] Отсюда \(\mathrm{tg}\,x=3\) или \(\mathrm{tg}\,x=-1\).

В б) выносим общий множитель: \[ \cos x(2\sin x-1)=0. \] В в) раскрываем \(\cos2x\): \[ 2\cos^2x-1=2\cos x-1 \Rightarrow 2\cos x(\cos x-1)=0. \]

Проверка: например, \(x=-\frac{\pi}{4}\) подходит к а) и г), \(x=\frac{\pi}{6}\) — к б), \(x=0\) — к в).