№276 подпункт в)

Краткий ответ: \(x=-3\) и \(x=2\).

Как решать:

1. В уравнении дважды встречается один и тот же блок \(x^2+x\). Обозначим его новой переменной: \[ t=x^2+x. \] Тогда \[ x^2+x-1=t-1,\qquad x^2+x+2=t+2. \]

2. Перепишем уравнение через \(t\): \[ (t-1)(t+2)=40. \]

3. Раскроем скобки: \[ t^2+t-2=40, \] \[ t^2+t-42=0. \] Корни этого квадратного уравнения: \(t_1=6\), \(t_2=-7\).

4. Возвращаемся к \(x\):

   • если \(x^2+x=6\), то \[ x^2+x-6=0, \] откуда \(x=2\) или \(x=-3\);
   • если \(x^2+x=-7\), то \[ x^2+x+7=0, \] здесь \(D=1-28=-27<0\), поэтому действительных корней нет.

5. Значит, подходят только \(x=-3\) и \(x=2\).

Проверка. Я проверил корни подстановкой: при \(x=2\) имеем \(x^2+x=6\), тогда \((6-1)(6+2)=5\cdot 8=40\). При \(x=-3\) тоже \(x^2+x=9-3=6\), снова получается \(40\). Оба корня подходят.

Принцип. Замена переменной удобна, когда в уравнении повторяется один и тот же блок. После решения уравнения относительно \(t\) обязательно возвращаемся к исходной переменной и проверяем оба значения \(t\). Если одно из них не даёт корней, в ответ оно не входит.