реши 20.7 и 20.8
Сверь числа и знаки с фото.
20.7. Решите тригонометрическое уравнение:
- \(\frac{\sin 3x}{\sin x}=0\);
- \(\frac{\cos x}{\cos 3x}=0\).
20.8. Решите уравнение способом понижения степени уравнения:
- \(\sin^2 x+\sin^2 2x-\sin^2 3x=\sin^2 4x\);
- \(\cos^2\frac{4x}{3}+\sin^2\frac{3x}{2}+2\sin^2\frac{5x}{4}-\cos^2\frac{3x}{2}=0\);
- \(\sin^4 x+\cos^4 x-\frac{5}{8}=0\);
- \(\cos^2 x+\cos^2 2x-\cos^2 3x-\cos^2 4x=0\);
- \(\cos^2\frac{3x}{4}+\cos^2 x+\cos^2\frac{5x}{4}=\frac{3}{2}\);
- \(\sin^2\frac{x}{3}+\sin^2\frac{4x}{9}=\sin^2\frac{5x}{9}+\sin^2\frac{2x}{3}\).
Сначала краткие ответы (везде \(k\in\mathbb Z\)):
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 20.7.1 | \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k\) |
| 20.7.2 | решений нет |
| 20.8.1 | \(x=\dfrac{\pi k}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi k}{5}\) |
| 20.8.2 | по фото условие читается нечётко — нужен более чёткий фрагмент |
| 20.8.3 | \(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{2}\) |
| 20.8.4 | \(x=\dfrac{\pi k}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi k}{5}\) |
| 20.8.5 | \(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}\) или \(x=\pm\dfrac{4\pi}{3}+4\pi k\) |
| 20.8.6 | \(x=\pi k\) или \(x=\dfrac{9\pi k}{2}\) |
20.7
При \(\sin x\ne0\): \[ \frac{\sin3x}{\sin x}=1+2\cos2x. \] Значит \[ 1+2\cos2x=0,\qquad \cos2x=-\frac12. \] Отсюда \[ 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \] то есть \[ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k. \]
Дробь равна нулю, только если числитель равен нулю: \[ \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \] Но при таком \(x\) \[ \cos3x=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi k\right)=0, \] то есть знаменатель тоже обращается в нуль. Значит, решений нет.
Если в твоём издании в числителе стоит \(\cos3x\), а не \(\cos x\), то ответ другой: \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3}\), где \(k\not\equiv1\pmod3\).
20.8
Основной приём — формулы понижения степени: \[ \sin^2 t=\frac{1-\cos2t}{2},\qquad \cos^2 t=\frac{1+\cos2t}{2}, \] \[ \sin^4 t+\cos^4 t=1-\frac12\sin^22t. \]
1) После понижения степени: \[ \cos2x+\cos4x-\cos6x-\cos8x=0. \] Группируем: \[ (\cos2x+\cos4x)-(\cos6x+\cos8x)=0, \] \[ 2\cos3x\cos x-2\cos7x\cos x=0, \] \[ 2\cos x(\cos3x-\cos7x)=0. \] Так как \[ \cos3x-\cos7x=2\sin5x\sin2x, \] получаем \[ 4\cos x\sin2x\sin5x=0. \] Корни \(\cos x=0\) уже входят в \(\sin2x=0\), поэтому: \[ x=\frac{\pi k}{2}\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi k}{5}. \]
3) Используем: \[ \sin^4x+\cos^4x=\frac34+\frac14\cos4x. \] Тогда \[ \frac34+\frac14\cos4x-\frac58=0, \] \[ \frac18+\frac14\cos4x=0, \] \[ \cos4x=-\frac12. \] Отсюда \[ 4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \] \[ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}. \]
4) Поскольку \(\sin^2t=1-\cos^2t\), это уравнение сводится к такому же, как в пункте 1: \[ \cos^2x+\cos^22x-\cos^23x-\cos^24x=0 \] \[ \Longleftrightarrow\quad \cos2x+\cos4x-\cos6x-\cos8x=0. \] Поэтому ответ тот же: \[ x=\frac{\pi k}{2}\quad\text{или}\quad x=\frac{\pi k}{5}. \]
5) Понижаем степень: \[ \frac{1+\cos\frac{3x}{2}}{2}+\frac{1+\cos2x}{2} +\frac{1+\cos\frac{5x}{2}}{2}=\frac32. \] После сокращения: \[ \cos\frac{3x}{2}+\cos2x+\cos\frac{5x}{2}=0. \] Группируем первый и третий косинусы: \[ 2\cos2x\cos\frac{x}{2}+\cos2x=0, \] \[ \cos2x\left(2\cos\frac{x}{2}+1\right)=0. \] Значит: \[ \cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, \] или \[ \cos\frac{x}{2}=-\frac12\Rightarrow x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi k. \]
6) Понижаем степень: \[ \cos\frac{2x}{3}+\cos\frac{8x}{9} =\cos\frac{10x}{9}+\cos\frac{4x}{3}. \] После преобразования разностей косинусов: \[ 4\sin x\sin\frac{2x}{9}\cos\frac{x}{9}=0. \] Отсюда: \[ \sin x=0\Rightarrow x=\pi k, \] \[ \sin\frac{2x}{9}=0\Rightarrow x=\frac{9\pi k}{2}. \] Корни \(\cos\frac{x}{9}=0\) уже входят в последнюю серию. Поэтому: \[ x=\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{9\pi k}{2}. \]
В пункте 20.8(2) на фото не удаётся надёжно разобрать первый множитель. Можешь прислать этот пункт крупнее?
