реши 20.8

Общий ключ к №20.8 — формулы понижения степени: \[ \sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},\qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}. \] После них остаётся сгруппировать слагаемые и разложить на множители.

1) \(\sin^2x+\sin^22x-\sin^23x=\sin^24x\).

После понижения степени: \[ \cos8x+\cos6x-\cos4x-\cos2x=0, \] \[ -4\sin2x\sin5x\cos x=0. \] Корни \(\sin2x=0\) уже входят в две другие серии. Ответ: \[ x=\frac{\pi k}{5}\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

2) В записи на фото: \[ \cos^2\frac{4x}{3}+\sin^2\frac{4x}{3}+2\sin^2\frac{5x}{4}-\cos^2\frac{3x}{2}=0. \] Первые два слагаемых дают \(1\), поэтому \[ 1+2\sin^2\frac{5x}{4}=\cos^2\frac{3x}{2}. \] Слева не меньше \(1\), справа не больше \(1\), значит обе части равны \(1\): \[ \sin\frac{5x}{4}=0,\qquad \cos^2\frac{3x}{2}=1. \] Отсюда \[ x=\frac{4\pi n}{5},\qquad x=\frac{2\pi m}{3}. \] Общие точки: \(x=4\pi k\).

3) \(\sin^4x+\cos^4x=\frac58\).

Используем \[ \sin^4x+\cos^4x=1-\frac12\sin^22x. \] Тогда \[ 1-\frac12\sin^22x=\frac58 \Rightarrow \sin^22x=\frac34. \] То же самое: \(\cos4x=-\frac12\). Ответ: \[ x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}. \]

4) \(\cos^2x+\cos^22x-\cos^23x-\cos^24x=0\).

После понижения: \[ \cos2x+\cos4x-\cos6x-\cos8x=0, \] \[ 4\cos x\sin5x\sin2x=0. \] Ответ такой же, как в №1: \[ x=\frac{\pi k}{5}\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \]

5) \(\cos^2\frac{3x}{4}+\cos^2x+\cos^2\frac{5x}{4}=\frac32\).

После понижения: \[ \cos\frac{3x}{2}+\cos2x+\cos\frac{5x}{2}=0, \] \[ \cos2x\left(2\cos\frac{x}{2}+1\right)=0. \] Поэтому \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2} \] или \[ x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi k. \]

6) \(\sin^2\frac{x}{3}+\sin^2\frac{4x}{9}=\sin^2\frac{5x}{9}+\sin^2\frac{2x}{3}\).

Переносим влево и применяем \[ \sin^2a-\sin^2b=\sin(a+b)\sin(a-b). \] Получаем \[ -2\sin x\sin\frac{2x}{9}\cos\frac{x}{9}=0. \] Корни \(\cos\frac{x}{9}=0\) уже содержатся среди корней \(\sin\frac{2x}{9}=0\). Ответ: \[ x=\pi k\quad \text{или}\quad x=\frac{9\pi k}{2}. \]

Во всех ответах \(k\in\mathbb Z\).