Вариант 1. 1. Найдите множество допустимых значений переменной выражения (2+x)/((x+3)(x-7)).

Сначала короткие ответы, затем — как это получается.

Кратко

1. \(x\ne -3,\ x\ne 7\), то есть
   \[ x\in(-\infty;-3)\cup(-3;7)\cup(7;+\infty). \]

2. а) \(\dfrac{3a^{14}}{b^7}\);
   б) \(\dfrac{a-b}{3}\);
   в) \(\dfrac{x-5}{x+5}\).

3. а) \(\dfrac{30a^2+37a+3}{18a^3}\);
   б) \(\dfrac{3(x-1)}{x^2-9}\);
   в) \(\dfrac{1}{x(x-2)}\);
   г) \(\dfrac{20m}{5-2m}\).

4. а) \(\dfrac{1}{n^2-4}\);
   б) \(\dfrac{4}{x+2}\).

5. а) \(5\);
   б) \(\dfrac{36}{5}\).

6. \(y=2x+1\) при \(x\ne0\); точка \((0;1)\) выколота.

---

Разбор

Главное правило: знаменатель не может быть равен нулю, а сокращать дробь можно только на общие множители.

1. Допустимые значения

\[ \frac{2+x}{(x+3)(x-7)} \]

Знаменатель не равен нулю:

\[ (x+3)(x-7)\ne0 \]

Значит:

\[ x\ne -3,\qquad x\ne 7. \]

---

2. Сокращение дробей

а)

\[ \frac{51a^{21}b^2}{17a^7b^9} = 3a^{21-7}b^{2-9} = 3a^{14}b^{-7} = \frac{3a^{14}}{b^7}. \]

Здесь \(51:17=3\), а степени вычитаются.

б)

\[ \frac{a^2-b^2}{3a+3b} = \frac{(a-b)(a+b)}{3(a+b)} = \frac{a-b}{3}. \]

Использована формула разности квадратов.

в)

\[ \frac{x^2-25}{x^2+10x+25} = \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)^2} = \frac{x-5}{x+5}. \]

---

3. Выполните действия

а)

\[ \frac{15a+1}{6a^3}-\frac{4-15a}{9a^2} \]

Общий знаменатель \(18a^3\):

\[ = \frac{3(15a+1)-2a(4-15a)}{18a^3} = \frac{45a+3-8a+30a^2}{18a^3} = \frac{30a^2+37a+3}{18a^3}. \]

В знаменателе второй дроби я читаю \(9a^2\). Если там \(9a^3\), получится \(\dfrac{75a-5}{18a^3}\).

б)

\[ \frac{1}{x+3}+\frac{2x}{x^2-9} = \frac{x-3+2x}{x^2-9} = \frac{3x-3}{x^2-9} = \frac{3(x-1)}{(x-3)(x+3)}. \]

в)

\[ \frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x^2+2x} = \frac{2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x(x+2)}. \]

Общий знаменатель \(x(x-2)(x+2)\):

\[ = \frac{2x-(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x(x-2)}. \]

г)

\[ 4m+\frac{8m^2}{5-2m} = \frac{4m(5-2m)+8m^2}{5-2m} = \frac{20m-8m^2+8m^2}{5-2m} = \frac{20m}{5-2m}. \]

---

4. Упростите выражение

а)

\[ \frac{n+6}{4n+8}-\frac{n+2}{4n-8}+\frac{5}{n^2-4}. \]

Разложим знаменатели:

\[ 4n+8=4(n+2),\quad 4n-8=4(n-2),\quad n^2-4=(n-2)(n+2). \]

Общий знаменатель \(4(n-2)(n+2)\). Получаем:

\[ \frac{(n+6)(n-2)-(n+2)^2+20}{4(n-2)(n+2)}. \]

Числитель:

\[ (n^2+4n-12)-(n^2+4n+4)+20=4. \]

Значит:

\[ \frac{4}{4(n^2-4)}=\frac{1}{n^2-4}. \]

б)

\[ \frac{x^2-16x+12}{x^3+8}+\frac{3x+2}{x^2-2x+4}. \]

Так как

\[ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4), \]

приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2-16x+12+(3x+2)(x+2)}{x^3+8}. \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2-16x+12+3x^2+8x+4 = 4x^2-8x+16 = 4(x^2-2x+4). \]

Тогда:

\[ \frac{4(x^2-2x+4)}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{4}{x+2}. \]

---

5. Используем данное равенство

\[ \frac{a+4b}{b}=9. \]

Разделим почленно:

\[ \frac{a}{b}+4=9, \]

поэтому

\[ \frac{a}{b}=5. \]

Далее:

\[ \frac{7a+b}{a}=7+\frac{b}{a}. \]

Если \(\dfrac{a}{b}=5\), то \(\dfrac{b}{a}=\dfrac15\). Значит:

\[ 7+\frac15=7\frac15=\frac{36}{5}. \]

---

6. График функции

\[ y=\frac{6x^2+3x}{3x}. \]

Сначала сокращаем:

\[ y=\frac{3x(2x+1)}{3x}=2x+1. \]

Но исходная дробь не существует при \(x=0\), потому что на ноль делить нельзя. Поэтому:

• строим прямую \(y=2x+1\);
• точку \((0;1)\) на графике выкалываем.

Например, прямая проходит через \((-1;-1)\) и \((1;3)\), но в точке \((0;1)\) графика нет.

Проверка: в 4а при \(n=3\) левая часть даёт \(\frac15\), как и \(\frac{1}{n^2-4}\). В 4б при \(x=1\) получается \(\frac43\), как и \(\frac{4}{x+2}\).