134 Функция y = f (x) задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной. 135 Являются ли взаимно обратными функции:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
134 Функция \(y = f (x)\) задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной. 135 Являются ли взаимно обратными функции:
- \(y = -x^{3}\) и \(y = -\sqrt[3]{x}\);
- \(y = -x^{5}\) и \(y = \sqrt[5]{x}\);
Краткий ответ
№ 135.
- Да, функции \(y=-x^{3}\) и \(y=-\sqrt[3]{x}\) взаимно обратные.
- Нет: обратная к \(y=-x^{5}\) — это \(y=-\sqrt[5]{x}\), а в условии стоит \(y=\sqrt[5]{x}\) (без минуса).
№ 134. Для конкретного построения нужен рис. 21 — графика в кадре нет (виден только текст задания). Принцип построения разбираю ниже — пришли фото рисунка, и я построю график по точкам.
Ключевые шаги
Что значит «взаимно обратные». Функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны, если при всех допустимых \(x\)
\[ f(g(x))=x \quad \text{и} \quad g(f(x))=x. \]
То есть каждая «отменяет» действие другой. Полезное следствие: область определения одной равна области значений другой, а графики симметричны относительно прямой \(y=x\).
1) \(f(x)=-x^{3}\), \(g(x)=-\sqrt[3]{x}\). Подставляем:
\[ f(g(x))=-\left(-\sqrt[3]{x}\right)^{3}=-(-x)=x, \] \[ g(f(x))=-\sqrt[3]{-x^{3}}=-(-x)=x. \]
Обе композиции дают \(x\) при любом \(x\in\mathbb{R}\), значит функции взаимно обратные.
Тот же результат даёт «решение уравнения»: из \(y=-x^{3}\) получаем \(x^{3}=-y\), \(x=-\sqrt[3]{y}\), после перестановки букв \(y=-\sqrt[3]{x}\) — ровно вторая функция.
2) \(f(x)=-x^{5}\), \(g(x)=\sqrt[5]{x}\). Ищем обратную:
\[ y=-x^{5}\;\Rightarrow\; x^{5}=-y\;\Rightarrow\; x=-\sqrt[5]{y}, \]
то есть обратная функция — \(y=-\sqrt[5]{x}\). В условии же стоит \(y=\sqrt[5]{x}\) — минус потерян, поэтому пара не взаимно обратная. Проверка композицией:
\[ f(g(x))=-\left(\sqrt[5]{x}\right)^{5}=-x \neq x \quad (\text{при } x\neq 0). \]
Проверка результата. В п. 1) оба знака «минус» согласованы (минус перед кубом и минус перед корнем), в п. 2) согласованности нет — это и есть ловушка задания. Нечётная степень и нечётный корень определены на всей числовой прямой, поэтому проверка годится для всех \(x\).
Как решать похожие. 1) Вырази \(x\) через \(y\) из формулы \(y=f(x)\). 2) Поменяй буквы \(x\) и \(y\) — получишь \(y=f^{-1}(x)\). 3) Сверь с предложенной функцией (или проверь \(f(g(x))=x\)). Обратная существует, если функция монотонна на своей области определения.
Для № 134 (когда будет рисунок): берём несколько характерных точек графика \((a;\,b)\), строим симметричные им точки \((b;\,a)\) и соединяем — полученная кривая и есть график обратной функции; она симметрична исходной относительно прямой \(y=x\).
Обсуждение
8 сообщенийНа изображении основное задание — № 133. Решаю его.
Для обратной функции \(f^{-1}\) верно: \[ D(f^{-1})=E(f), \qquad E(f^{-1})=D(f). \] Поэтому сначала находим область определения и множество значений исходной функции, а для проверки — её явную обратную.
| № | Исходная \(y=f(x)\) | Обратная \(y=f^{-1}(x)\) | \(D(f^{-1})\) | \(E(f^{-1})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(y=-2x+1\) | \(y=\dfrac{1-x}{2}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 2 | \(y=\dfrac14x-7\) | \(y=4x+28\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 3 | \(y=x^3-1\) | \(y=\sqrt[3]{x+1}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 4 | \(y=(x-1)^3\) | \(y=1+\sqrt[3]{x}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| 5 | \(y=\dfrac{2}{x}\) | \(y=\dfrac{2}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) |
| 6 | \(y=\dfrac{3}{x-4}\) | \(y=4+\dfrac{3}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) |
Коротко объясню ключевые места.
Линейные функции \(y=-2x+1\) и \(y=\frac14x-7\) определены на всей числовой прямой и принимают все действительные значения, поэтому у обратных функций \(D=E=\mathbb{R}\).
Кубические функции \(y=x^3-1\) и \(y=(x-1)^3\) также определены на \(\mathbb{R}\) и принимают все действительные значения: куб «покрывает» всю прямую. Значит, у обратных \(D=E=\mathbb{R}\).
В п. 5: \[ y=\frac{2}{x} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{2}{y}. \] После перестановки букв получаем \(y=\frac{2}{x}\). Здесь \(x\ne0\), и значение \(y=0\) невозможно, поэтому \[ D=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad E=\mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
В п. 6: \[ y=\frac{3}{x-4} \quad \Rightarrow \quad x-4=\frac{3}{y} \quad \Rightarrow \quad x=4+\frac{3}{y}. \] После перестановки: \[ y=4+\frac{3}{x}. \] У этой функции \(x\ne0\), а \(y\ne4\), так как \(\frac{3}{x}\ne0\). Поэтому \[ D=\mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad E=\mathbb{R}\setminus\{4\}. \]
Проверка для п. 6: \[ f\left(f^{-1}(x)\right)=\frac{3}{\left(4+\frac{3}{x}\right)-4}=\frac{3}{\frac{3}{x}}=x, \] значит, обратная функция найдена верно.
Для № 134 по-прежнему нужен рис. 21 — в кадре его нет.
Кратко и понятно объясни
Главная идея: у обратной функции \(x\) и \(y\) меняются ролями. Поэтому
\[ D(f^{-1})=E(f), \qquad E(f^{-1})=D(f). \]
То есть область определения обратной — это множество значений исходной, и наоборот.
Как находить: выразить \(x\) через \(y\), затем поменять буквы \(x\) и \(y\). Ограничения смотреть по знаменателю и корню.
Коротко по заданию № 133:
| Функция | Обратная | \(D(f^{-1})\) | \(E(f^{-1})\) |
|---|---|---|---|
| \(y=-2x+1\) | \(y=\frac{1-x}{2}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(y=\frac14x-7\) | \(y=4x+28\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(y=x^3-1\) | \(y=\sqrt[3]{x+1}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(y=(x-1)^3\) | \(y=1+\sqrt[3]{x}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(y=\frac{2}{x}\) | \(y=\frac{2}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) |
| \(y=\frac{3}{x-4}\) | \(y=4+\frac{3}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{4\}\) |
Пример для последней строки: \[ y=\frac{3}{x-4} \Rightarrow x=4+\frac{3}{y}. \] После перестановки: \(y=4+\frac{3}{x}\). Здесь \(x\ne0\), а \(y\ne4\), потому что дробь \(\frac{3}{x}\) не равна нулю.
А что такое D E
\(D\) — область определения функции, то есть все допустимые значения \(x\), которые можно подставить.
\(E\) — область значений, то есть все значения \(y\), которые функция может принять.
Пример: \(y=\frac{2}{x}\).
- \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) — на нуль делить нельзя, поэтому \(x\ne0\);
- \(E=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) — дробь \(\frac{2}{x}\) нулём быть не может, поэтому \(y\ne0\).
Запись \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) читается «все действительные числа, кроме нуля».
Зачем это в обратных функциях. У обратной функции \(x\) и \(y\) меняются местами, поэтому
\[ D(f^{-1})=E(f), \qquad E(f^{-1})=D(f). \]
То есть «запрещённые» значения просто переходят из одной области в другую. Например, у \(y=\frac{3}{x-4}\) область значений \(E=\mathbb{R}\setminus\{4\}\), и именно поэтому у обратной \(y=4+\frac{3}{x}\) область определения \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), а её область значений \(E=\mathbb{R}\setminus\{4\}\).
Что такое DE
Это не одно слово, а две разные буквы — обозначения двух множеств:
- \(D(f)\) — область определения: все \(x\), которые можно подставить;
- \(E(f)\) — область значений: все \(y\), которые получаются.
Читается: «дэ от эф» и «е от эф». Иногда пишут \(D(y)\) и \(E(y)\) — смысл тот же, только указывают функцию \(y\).
Пример: \(y=x^2\).
- \(D(y)=\mathbb{R}\) — возводить в квадрат можно любое число;
- \(E(y)=[0;+\infty)\) — квадрат не бывает отрицательным.
Поэтому у обратной функции (там \(x\) и \(y\) меняются ролями) буквы D и E просто переходят друг в друга:
\[ D(f^{-1})=E(f), \qquad E(f^{-1})=D(f). \]
